Касательные напряжения в балке

Впервые формулу для τ_zy вывел Журавский Д. И. в 1855 году.

Рассмотрим поперечный изгиб (рис. 15.9, как и ранее для удобства записи индексы для напряжений σ_z, τ_zy в дальнейшем будем опускать).

рис. 15.9 рис. 15.10

Вырежем тонкий диск шириной ds. Из него еще раз вырежем часть диска с площадью сечения А^отс = BCDK (рис. 15.9, 15.10).

Верхняя часть диска воздействует на нижнюю часть касательными напряжениями (рис. 15.10).

Найдем это из уравнения равновесия диска BCDK. Запишем уравнение:

(15.13)

Поскольку бесконечно мал, то можно считать, что на верхней площадке диска . Тогда равнодействующая напряжений на этой верхней площадке будет:

(15.14)

Теперь подсчитаем силы, которые действуют в направлении оси z на переднюю и заднюю площадки нашего усеченного диска. На них действуют нормальные напряжения. На заднюю действуют (рис.15.10). На переднюю действуют нормальные напряжения, которые мало отличаются от . Как обычно эту фразу записываем так: на переднюю площадку действуют . Так же, как обычно площадь BCDK разбиваем на малые площади и находим силы, которые на них действуют. Это будут . Суммируя эти силы получим, что на площадь BCDK спереди действует сила

(15.15)

На такую же площадь нашего диска, но сзади действует сила:

(15.16)

Уравнение (15.13) примет вид:

Подставляя сюда соотношения (15.14)-(15.16) получим:

Отсюда:

Деля на ВСds получим:

(15.17)

По формуле Навье (15.8) имеем

Отсюда:

(15.18)

Согласно уравнению равновесия (3.2) элемента балки имеем:

(15.19)

Таким образом:

Обозначая ВС через b полученную формулу Журавского запишем в виде:

, (15.20)

Перечислим использованные обозначения.

- поперечная сила;

- момент инерции всего сечения;

b - ширина сечения на уровне того микроэлемента, в котором вычисляется (если фигура не прямоугольник, то ширина b будет разная на разных уровнях рассматриваемого микроэлемента);

- статический момент отсеченной площади А^отс - части площадисечения, которая лежит ниже рассматриваемого малого элемента (т.е. фигуры BCDK),, в котором вычисляется ;

(у_ц.т_.) ^отс - координата центра тяжести отсеченной площади BCDK.

Правило знаков для : Для прочностных расчетов знак касательных напряжений не имеет значения, но для определенности введем его в соответствии с правилом, применяемым в теории упругости, то есть, касательное напряжение положительно, если оно действует в направлении оси х и при этом направление нормали к сечению совпадает с осью z.