Символы рядов (ребер)

Ряд, или узловая прямая, а также ребро кристаллического многогранни­ка характеризуются наклоном в выб­ранной системе координат. Если ряд не проходит через начало координат, то можно сдвинуть его параллельно самому себе так, чтобы он прошел че­рез начало координат, потому что все параллельные направления в кристалле равнозначны. Тогда направление ряда определится двумя точками: началом координат и любым узлом ряда. Символ этого узла принимают за символ ряда и пи­шут в квадратных скобках [ rst ]. Оче­видно, этот символ характеризует семейство параллельных рядов, а так­же и параллельные ребра кристалли­ческого многогранника.

Для обозначения направления (ребра) в кристаллах обратные величины, как при определении индексов граней, здесь не берутся, так как удобными оказываются индексы Вейса. Переходить к индексам Миллера нет необходимости, так как индекс, равный бесконечности в данном случае не возникает.

а)	б)
Рис. 6.4. Символы некоторых направлений в плоской сетке

Символы некоторых направлений в плоской сетке показаны на рис. 6.4, а. Из рис. 6.1 и 6.4 следует, что, напри­мер, ряд [110] можно характеризовать и символом [220], [330] и т. п., но для определения символа ряда принято выбирать узел, ближайший к началу координат. Если индексы в символе ряда кратные, их можно сокращать на целое положительное число.

Оси координат OX, OY, OZ имеют соответственно символы [100], [010], [001] (рис. 6.4, б). Здесь видно одно из основных преимуществ кристаллогра­фической символики: символы осей координат не зависят от углов между осями координат и от осевых отрезков, они одинаковы в любой системе коор­динат.

Для обозначения ребер гексагональных кристаллов, так же как и для граней, обычно используют четырехзначные символы [ rswt ]. Однако при переходе от четырехиндексовых символов ребер к трехиндексовым, необходимо пользоваться формулами преобразования. Изъять лишний индекс w можно лишь в том случае, если он будет равен нулю. Для этого величину, обращающую его в ноль, следует добавить ко всем трем первым индексам символа:

[ rswt ] = [ r-w s-w w-w t ] = [r-w s-w. t ] = [ r's'.t' ]. [6.8]

Добавление одной и той же величины (- w) к трем координатам точки по осям X, Y и Z оставляет точку на месте.

Грани кристалла, пересекающиеся по параллельным ребрам, образуют пояс, или зону, а общее направление этих ребер называется осью зоны. Символ [ rst ]характеризует ось зоны. Для нахождения символа оси зоны необходимо установить связь между символами двух пересекающихся граней (плоскостей) и символом лежащего в плоскостях этих граней ребра (направления), по которому они пересекаются.

Уравнение плоскости, проходящей через центр координат, с учетом индексов Миллера имеет следующий вид:

hx + ky + lz = 0. (6.9)

Поскольку символом ребра служат относительные координаты любой его точки, а само ребро кристалла лежит в плоскости, то координаты любой точки этого ребра должны удовлетворять уравнению данной плоскости. В этом случае текущие координаты х, у, z в уравнении плоскости оказываются не чем иным, как индексами символа ребра, лежащего в данной плоскости (или параллельного ей), т.е. х:у:z = r:s:t. Поэтому уравнение (6.9) в кристаллографической системе координат примет вид:

hr + ks + lt = 0. (6.10)

Это фундаментальное уравнение, выведенное Вейсом (закон зон или закон Вейса), связывает символы грани и ребра кристалла, параллельного этой грани, или, что то же самое, символы грани и оси зоны, включающей эту грань.

Пользуясь уравнением (6.10) и зная символы двух граней и , можно определить символ ребра [ rst ], по которому они пересекаются. В этом случае необходимо решить систему уравнений, составленных для каждой из пересекающихся плоскостей:

. (6.11)

Такие системы решаются способом перекрестного умножения:

Откуда

. (6.12)

Таким же образом можно вычислить и символ грани (hkl), в плоскости которой лежат два пересекающихся ребра [ r ₁ s ₁ t ₁] и [ r ₂ s ₂ t ₂]:

. (6.13)

Решаем систему методом перекрестного умножения:

Откуда

. (6.14)

Таким образом, две грани определяют ребро (ось зоны), два ребра (две зоны) - грань кристалла. Отсюда ясно, что возможные грани и ребра кристалла легко получить по четырем с известными символами граням, три из которых не пересекаются по параллельным ребрам (т. е. не принадлежат одной зоне), или по четырем ребрам, три из которых не лежат в одной плоскости.