Формулы структурной кристаллографии

Межплоскостное расстояние. Между индексами (hkl)семейства параллельных плоскостей, его межплоскостным расстоянием и периодами решетки существует математическая связь. Формула, показывающая зависимость между этими величинами, получила название квадратичной формы.

Межплоскостное расстояние для решетки с произвольной сингонией

(6.26)

,

где параметр определяется из формулы:

. (6.27)

В частном случае формулы для межплоскостного расстояния имеют вид:

кубическая сингония

, (6.28)

тетрагональная сингония

, (6.29)

гексагональная сингония

. (6.30)

Из формул видно, что чем больше индексы плоскости, тем меньше межплоскостное расстояние для данного семейства плоскостей.

Семейства плоскостей с одинаковым межплоскостным расстоянием образуют совокупность плоскостей, обозначаемую фигурными скобками . Так, для кубической сингонии совокупность плоскостей куба {100} содержит шесть кристаллографически идентичных семейств плоскостей: (100), (010), (001), (), (), (), связанных между собой преобразованиями симметрии. Если с помощью различных операций симметрии повернуть решетку так, что на месте плоскостей разместятся плоскости или любые из остальных четырех семейств плоскостей, то новое положение решетки совпадет с исходным. В этом и заключается кристаллографическая идентичность.

Количество кристаллографически идентичных плоскостей равно числу возможных перестановок местами и знаками индексов, входящих в данную совокупность, без изменения величины межплоскостного расстояния. Кристаллографически идентичные плоскости симметрично расположены в пространстве.

Количество плоскостей в совокупности принято обозначать буквой Р. Так, в кубической сингонии для {100} Р = 6; для {110} Р = 12; {111} Р = 8; {123} Р = 24.

Угол между двумя направлениями. Нахождение угла между двумя направлениями [ ] и [ ] сводится к определению угла между векторами: и .

Составив скалярное произведение векторов и

½ ½×½ ½× (6.31)

и вычислив величину этого скалярного произведения, найдем

. (6.32)

В общем виде формула (6.32) для нахождения угла между двумя направлениями, выраженная через индексы направлений, является слишком громоздкой, поэтому ограничимся рядом частных случаев:

кубическая сингония

; (6.33)

тетрагональная сингония

; (6.34)

Угол между плоскостями. Угол между плоскостями с индексами и

кубическая сингония

; (6.35)

тетрагональная сингония

; (6.36)

Объем элементарной ячейки. Если известны параметры ячейки (длины ребер и углы), можно определить ее объем по формуле:

, (6.37)

где V – объем; a, b, c – параметры ячейки; a, b, g - углы.

[1] В символах узлов могут применяться и дробные индексы; для символов направлений и плоскостей (ребер и граней) используются только целочисленные индексы.