Обратная решетка

При исследовании и описании кристаллических структур часто приходится иметь дело не только с межатомными расстояниями (периодами идентичности), но и с межплоскостными расстояниями. Под межплоскостным расстоянием понимают кратчайшее расстояние между двумя соседними параллельными плоскостями данного семейства параллельных плоскостей. Для нахождения этих расстояний вводится понятие обратной решетки, которая определенным образом связана с прямой решеткой.

Обратная решетка была впервые предложена Эвальдом и была использована Лауэ для описания взаимосвязи между кристаллической структурой и дифракционной картиной. Обратная решетка не является решеткой в том обычном смысле, который мы вкладываем при определении пространственной решетки кристалла.

По Эвальду базисные вектора обратной решетки определяются соотношениями:

; ; , (6.16)

где a, b, c – базисные вектора прямой решетки; V = a [ b ´ c ] – объем элементарной ячейки прямой решетки.

Угловые параметры прямой и обратной решетки связаны соотношениями

; (6.17)

; (6.18)

. (6.19)

Скалярные произведения базисных векторов прямой и обратной решеток равны

(а *× а) = (b *× b) = (с *× с) = 1, (а *× b) = (а *× с) = (b *× с) = (b *× а) =

= (с *× b) = (с *× а) = 0. (6.20)

Каждой кристаллической структуре соответствуют две решетки: кристаллическая (прямая) решетка и обратная решетка. Они связаны между собой соотношениями (6.16) – (6.20). Векторы кристаллической решетки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решетки [длина]^–1.

Узлы прямой и обратной решеток определяются векторами

R = h a + k b + l c, (6.21)

G = H a ^* + K b ^* + L c ^*, (6.22)

где h, k, l и H=nh, K=nk, L=nl – целые числа; n – общий множитель.

Вектор обратной решетки G = h a ^* + k b ^* + l c ^* перпендикулярен плоскости (hkl) прямой решетки, а длина этого вектора равна обратной величине расстояния d между плоскостями { hkl } прямой решетки, т.е.

ú G _hklú = ú h a ^* + k b ^* + l c ^*ú = (d _hkl)^–1. (6.23)

Объем V * элементарной ячейки обратной решетки равен обратной величине объема V элементарной ячейки прямой решетки (и обратно):

V * = V ^–1. (6.24)

На рис. 6.6 представлен порядок построения обратной решетки. Из узла прямой решетки, выбранного как начало координат, проводится перпендикуляр к каждой плоскости с индексами (hkl). На линии перпендикуляра ставится точка на расстоянии 1/d_hkl от начала координат. Таким образом, кристаллографические плоскости задаются как набор точек в обратном пространстве: каждой плоскости (hkl)прямой решетки отвечает в обратной решет­ке узел [[ hkl ]]*. Бесконечному семей­ству параллельных плоскостей { hkl }в пространстве прямой решетки со­ответствует в пространстве обратной решетки бесконечное семейство точек [[ hkl ]]* вдоль направления, нормаль­ного к этим плоскостям. Расстояния этих точек от точки 0, принятой за на­чало координат в обратном простран­стве, равны 1/ d, 2/d, 3/d,..., где d = d_hkl - расстояние между плоскос­тями { hkl }в прямой решетке.

Рис.6.6. Построение обратной решетки