Функция отклика. Факторы, параметры и требования к ним

Если математическая модель объекта неизвестна, его рассматривают, как «черный ящик» (рис. 3.1) На вход объекта воздействуют факторы x ₁… x_k, задаваемые в процессе исследования.

Рис.3.1. К постановке задачи о «черном ящике».

На выходе объекта наблюдают случайные величины y ₁... y_n, которые являются исследуемыми характеристиками (параметрами) объекта. Случайные неуправляемые факторы вызывающие разброс выходных параметров объекта y ₁... y_n.

Объект исследования должен удовлетворять требованию воспроизводимости, т.е. многократно повторенные опыты должны давать результаты с разбросом значений, не превышающих некоторую заданную величину. Объект должен быть управляемым (следует помнить, что нет абсолютно управляемых объектов). На реальный объект действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Последние влияют на воспроизводимость результатов эксперимента и могут служить причиной ее нарушения.

Фактором называют независимую переменную величину, влияющую на функции отклика y₁...y_n. Каждый фактор имеет область определения - совокупность всех значений, которые может принимать фактор. Область определения всех факторов называется факторным пространством.

При исследовании процесса необходимо учитывать все существенные факторы. Если по какой-либо причине влияние некоторых факторов невозможно учесть в эксперименте, то эти факторы должны быть стабилизированы на определенных уровнях в течение всего эксперимента. Если число факторов велико, то необходимо отсеять те факторы, которые оказывают незначительное влияние на параметр оптимизации. Отсеивание несущественных факторов производят на основе априорного ранжирования или с помощью постановки так называемых отсеивающих экспериментов.

Ранжирование факторов означает расположение факторов в упорядоченный ряд, например, в порядке убывания их влияния на функцию отклика.

Уровнями варьирования факторов называют значения факторов, которые они могут иметь при проведении эксперимента. Уровень варьирования каждого фактора не должен выходить за пределы области определения фактора. Факторы должны быть:

а) управляемыми;

б) непосредственно воздействующими на объект исследования (трудно управлять фактором, который является функцией других факторов);

в) совместимыми, т.е. все комбинации уровней факторов должны быть осуществимы и безопасны;

г) независимыми, т.е. позволяющими экспериментатору устанавливать требуемые уровни любого фактора независимо от уровней других факторов.

Под математической моделью понимают вид функции отклика

, (3.3)

связывающей выходной параметр объекта с факторами. Выбор модели зависит от задачи исследования и от предъявляемых требований к модели. Наиболее простой моделью является полином, линейный относительно неизвестных коэффициентота, которые определяются при обработке результатов эксперимента. Это обстоятельство позволило развиться аппарату теории планирования экспериментов именно для полиномиальных моделей. Для других моделей планирование требует более сложных специальных подходов.

Различают искомую функцию отклика, которая для двух факторов, например, имеет вид

(3.4)

и экспериментально полученную,

, (3.5)

в которой коэффициенты b_i являются оценками коэффициентов искомой функции β_i. Полином включает линейные относительно факторов слагаемые, эффекты взаимодействия и слагаемые второго и более высоких порядков.

Поскольку существуют ошибки воспроизводимости эксперимента, функцию отклика следует рассматривать как случайную величину, рассеивание возможных значений которой характеризуется дисперсией воспроизводимости. Основное требование, которое предъявляется к модели, заключается в способности модели «предсказывать» значение функции отклика с требуемой точностью для дальнейших опытов. Это означает, что предсказанные по модели значения функции отклика должны отличаться от фактических не более, чем на некоторую наперед заданную величину. Модель, удовлетворяющая этому требованию, называет адекватной.

Прежде, чем начать планирование эксперимента, необходимо выбрать область эксперимента (интервалы варьирования факторов, основной или нулевой уровеньфакторов) и определить дисперсию воспроизводимости для факторного пространства.

На выбор интервалов варьирования факторов накладываются ограничения как сверху, так и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше ошибки, с которой измеряются уровни факторов в процессе эксперимента, а как правило больше её в несколько раз. С другой стороны, интервал варьирования должен иметь границы, не выходящие за область определения фактора с учетом установленных ограничений. Например, при измерении температуры в опыте с помощью термометра с точностью 0,5 ^оС, интервал должен иметь величину не менее 5 ^оС.

Основному или нулевому уровню факторов соответствует центр области варьирования факторов. Обозначим начальную точку для j- того фактора , ее значение при известных значениях верхней и нижней границы факторного пространства определится выражением:

. (3.6)

Все величины в выражении (3.6) размерные.

Интервалом варьирования I_j называется половина разности между верхним и нижним значением фактора:

. (3.7)

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных, а также создания математического аппарата ТПЭ в рассмотрение вводят кодированные факторы. Переход от натуральной системы к кодированной осуществляется по формуле:

, (3.8)

где – значение фактора в кодированной системе координат, из выражений (3.7) и (3.8) следует, что в кодированной системе координат верхнему уровню фактора соответствует значение +1, а нижнему – -1.