Известно, что частный масштаб длин зависит от азимута. Из формулы (8)
Где из формулы (7)
Чтобы определить экстремальные значения масштаба длин, нужно взять производную масштаба по азимуту и приравнять ее нулю
Отсюда
(14)
Полученное численное значение одинаково по величине и знаку для двух значений отличающихся друг от друга на 90° и расположенных между 0 и 180°. Предположим, что именно для этих значений масштабы длин будут минимальны и максимальны.
Определим вторую производную от по
Вторая производная будет иметь противоположные знаки для азимутов и так как выражение, заключенное в скобки, на знак не влияет. Следовательно, при отображении заданной точки существуют два взаимно перпендикулярных направления, по которым масштабы длин имеют максимальное и минимальное значения. Определим, под каким углом будут пересекаться эти направления в проекции.
Азимуту в проекции соответствует азимут а азимуту азимут
Согласно формуле (10)
Если то произведение тангенсов этих азимутов должно быть равно минус единице
|
|
Известно, что
Из формулы (14)
Тогда
Следовательно, Можно сделать вывод, что существуют два взаимно перпендикулярных направления на картографируемой поверхности, которые остаются взаимно перпендикулярными в проекции (на карте). Эти направления называются главными, масштабы по этим направлениям экстремальны. Если картографическая сетка ортогональна, то главные направления совпадают с меридианами и параллелями.