Возведение в степень и извлечение корней

8 9 10 11 12 13 14

Теорема 2. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Следствие. Если z = r(cosj + i sinj), то zⁿ = rⁿ(cosj + i sinj). Эта формула Муавра.

Пример 3. Вычислить (i – 1)⁶.

Решение. Запишем число – 1 + i в тригонометрической форме:

, .

Это число изображается точкой во 2–й четверти, поэтому Значит .

Применяем формулу Муавра: .

Научимся теперь извлекать корни, то есть решать уравнения zⁿ = w, где w = | w | (cosa + i sina) – данное число, z =| z | (cosa + i sina) – неизвестная. Подставим эти выражения в уравнение:

| z | ⁿ(cosnj + i sinnj) =| w | (cosa + i sina).

Отсюда следует, что | z | ⁿ =| w |, nj = a + 2pk. Выразим теперь искомые величины |z|, j:

Окончательно формула для извлечения корней имеет вид:

Здесь – арифметическое значение корня, то есть положительное действительное число. Среди значений различными являются только n, соответствующие значениям k = 0, 1, 2,..., n – 1.

Элементарная теория погрешностей.

Математические действия над приближёнными значениями величин называются приближёнными вычислениями.

Пусть точное значение какой-либо величины равно а её приближённое значение равно Тогда погрешность, т. е. отклонение точного значения от приближённого, равна

она может получиться как положительной, так и отрицательной. Эта погрешность обычно бывает точно неизвестна, поскольку неизвестно значение Поэтому задаются предельные погрешности и между которыми содержится истинная погрешность: т.

В этом случае говорят, что задана двусторонняя оценка величины Так как задавать две предельные погрешности не всегда удобно, то часто задаётся предельная абсолютная погрешность т. е. величина, большая абсолютного значения погрешности: т. е. или

Пусть, к примеру, при измерении некоторой длины получилось ℓ = 137 см, причём можно говорить о точности до см. Это означает, что в данном случае см и см; можно записать см.

Предельная абсолютная погрешность не полностью характеризует точность измерения.. Качество измерения больше характеризуется предельной относительной погрешностью которая вычисляется по формуле

Предельная относительная погрешность безразмерна и часто выражается в процентах, причём для упрощения её значение обычно округляется в сторону увеличения.

Запись приближённых чисел, т. е. приближённых численных значений величин, производится так, чтобы сам вид записи говорил о степени точности. Обычно их записывают так, что все цифры верны, кроме последней, сомнительной, в которой допускается ошибка не больше чем на единицу. К примеру, в равенствах и для сопротивления огромная разница, поскольку эти записи свидетельствуют, что первое вычисление производилось с точностью до а второе − до

Число знаков после запятой говорит о предельной абсолютной погрешности; о предельной же относительной погрешности говорит общее число верных знаков, к которым не относятся передние нули: к примеру, числа 2,57; 1,7100; 0,015; 0,00210 имеют соответственно 3, 5, 2, 3 верных знаков. Чем больше верных знаков в числе, тем меньше предельная относительная погрешность.

Следует избегать записей вида . Если вторая цифра сомнительна, то следует писать а если четвёртая − то

При сложении приближённых чисел в сумме берётся столько знаков после запятой, сколько их имеется у слагаемого с наибольшей абсолютной погрешностью. Если слагаемых много, то ошибки в них могут складываться и дать большую ошибку в сумме. В таких случаях рекомендуется правило лишнего знака: оставлять один лишний знак, а в ответе произвести его округление.

Например, вычислим сумму Самая большая абсолютная погрешность у первого слагаемого: она равна поэтому прочие слагаемые округляем до

т. е.

Предельная абсолютная погрешность суммы или разности нескольких величин равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих величин.

К примеру, если две величины определены с точностью до то сумма или разность этих величин определены с точностью так как ошибки могут сложиться. Если же слагаемых много, то маловероятно, чтобы все ошибки сложились. В этом случае для определения погрешности суммы следует воспользоваться методами теории вероятностей, из которых вытекает, что один знак в сумме нужно округлять, как это было сделано при вычислении начиная с пяти слагаемых, а два знака − примерно с полутысячи слагаемых.

При вычитании приближённых чисел правила те же, что и при сложении, но необходимо дополнительно иметь в виду, что при вычитании близких чисел относительная точность резко ухудшается.

При умножении или делении двух приближённых чисел следует пользоваться следующим правилом: в ответечисло верных знаков надо взять равным наименьшему числу верных знаков в сомножителях или в делимом и делителе.

Важная задача теории погрешностей и метод её решения. Пусть даны приближённые значения и величин с точными значениями и соответственно. Определим, какое из равенств или точнее. Для решения этой задачи существует следующий алгоритм.

1. Найти приближённые значения и чисел и соответственно с большим числом знаков после запятой, чем у и

2. Найти погрешности вычислений и как разности между двумя приближёнными значениями чисел и соответственно.

3. Определить предельные абсолютные погрешности вычислений и с избытком (округлить полученные значения погрешности вычислений и ).

4. Найти предельные относительные погрешности вычислений по формулам ,

5. Сравнить предельные относительные погрешности вычисления двух чисел, сделать вывод: если равенство точнее равенства если равенство точнее равенства