Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно, что ряд – сходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже сходится.

Т.е: Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:

а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если есть предел: , то:

а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Признак Коши является более сильным признаком, чем признак Даламбера. Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень извлекается из общего члена ряда. Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее: У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и: , , , …. Например:

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.

Или, если выполнены оба условия, то ряд сходится:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю. То есть,

Если ряд сходится по признаку Лейбница, то также говорят, что ряд сходится условно. Если сходится и ряд, составленный из модулей: , то говорят, что ряд сходится абсолютно.

Теорема: Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно.

(Обратное неверно: если ряд сходится условно, то это еще не значит, что он сходится абсолютно.)

Функциональный ряд состоит из ФУНКЦИЙ: Все члены функционального ряда – это функции.

В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и др. непременно входит буковка «икс», например:. Разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной . :, где – это «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Например или , где –константа. Например или Область сходимости ряда - это множество значений «икс», при котором степенной ряд будет сходиться.

Для любого степенного ряда возможны три случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Т.е, если мы выбираем любое значение «икс» из интервала и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называется интервалом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости - половина длины интервала сходимости

2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении. То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получится абсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: . Радиус сходимости:

3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке . В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю: .

Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке ,

если ряд имеет вид , то, понятно, – в точке «минус а».

Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой: .