G Напоминание из курса математики:
1. Пусть f(x) = 0 – некоторое уравнение. Число х = η называется корнем, или решением данного уравнения, если подстановка его в уравнение обращает его в тождество, т.е. f(η) ≡ 0.
2. Корнями уравнения f(x)=0 являются абсциссы точек пересечения кривой y=f(x) с осью Ох.
3. Если функция y=f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка [a;b] значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого промежутка найдется нуль функции, т.е. корень уравнения f(x) = 0.
4. Приближённое решение уравнения f(x) = 0 состоит из двух этапов:
- нахождение грубо приближённых значений корней;
- уточнение найденных грубых приближений.
5. Метод последовательного приближения к значению корня с заданной точностью называется методом итераций.
Алгоритм решения нелинейного уравнения f(x) = 0 приближённым
(таблично- графическим) способом с заданной точностью ε:
1) отделить корень - установить промежуток [a;b] из области определения f(x),
в котором могут быть корни уравнения f(x) = 0;
2) протабулировать функцию y = f(x) в этом отрезке (см. 5.1);
|
|
3) построить график функции по полученным табличным значениям;
4) по таблице значений функции определить отрезок [xi; xi+1], (i=1..n) на концах которого функция y = f(x) принимает значения разных знаков
(этот же отрезок можно установить по графику – это отрезок, в котором график пересекает ось Ох). В этом отрезке содержится х, в котором f(x)=0
(см. Напоминание – теорема 3).
5) Если не будет достигнута требуемая точность, т.е. |f(x)|> ε,
уточнить корень: задать новые значения а= xi и b= xi+1, вернуться к шагу 4). Повторяя этот процесс («итерируя») несколько раз, получить значение корня х с заданной точностью, т.е. |f(x)| ≤ ε,
5.2.1. Пример выполнения задания: «Решение нелинейного уравнения»
Задание. Решить уравнение таблично-графическим
способом с точностью e = 0,0001.