double arrow

Волновое уравнение

Когда мы рассматриваем процессы, связанные с распространением света в волокне, по соображениям удобства или наглядности мы иногда применяем лучевую теорию, считая свет потоком частиц, а иногда рассматриваем волновую природу света. Односторонний подход приводит к ошибочным результатам, поскольку свет имеет дуалистическую природу, обладая как свойствами волны, так и частицы. Распространение электромагнитных волн в волокне подчиняется уравнениям Максвелла, которые в данном случае имеют вид:

rot H = ε (5.1) и rot E = - μ (5.2).

Если волна гармоническая, то есть E = Em ejωt и H = Hm ejωt, то уравнения принимают вид

rot H = jωεE (5.3) и rot E = - jωμH (5.4).

Применим ещё раз операцию взятия ротора от левой и правой части уравнения (5.4). Получим

rot rot E = -jωμ rot H. (5.5).

Из векторного анализа известно, что

rot rot E = grad div E - 2E.

В оптическом волокне div E = 0, поэтому rot rot E = - 2E. Подставляя в правую часть (5.5) значение rot Н из (5.3), получаем

- 2E = jωμ·jωεE или 2E – ω2 μεE = 0. (5.5).

Оператор представляет собой сумму вторых производных по направлениям осей координат, например для декартовых координат это

= , для цилиндрических координат = .

Таким образом, уравнение (5.5) приобретает вид:

- k2E = 0 (5.6).

Это цилиндрическое (Бесселево) уравнение. Его решение

Ez = (5.7).

В выражении (5.7):

- постоянная, определяемая граничными условиями;

- функция Бесселя n -го порядка;

аргументами являются произведения gm r, β nz и nφ, где

gm - постоянная поперечного распространения;

βn - постоянная продольного распространения;

n и m – числа натурального ряда.

При этом

g12 = k12 – β2 - постоянная поперечного распространения для сердечника, (5.9);

g22 = β2 – k22 - постоянная поперечного распространения для оболочки, (5.10);

(5.11).

В выражении (5.11):

; μ0 и ε0 - магнитная и диэлектрическая проницаемости вакуума; μr и εr - относительные магнитная и диэлектрические проницаемости сердцевины и оболочки;

- скорость света;

коэффициент преломления сердцевины , оболочки ;

; .

На рис.5.1 показаны Бесселевы функции нулевого и первого порядка (они похожи на затухающие косинусоиду и синусоиду). Аналогично выглядят и функции более высокого порядка. Пересечения этих кривых с осью аргументов x = gm r определяют значения корней, обращающих функции Jn в 0, и являющиеся решениями уравнения. Как видим решений бесконечно много, но они расположены не непрерывно, а дискретно, то есть не каждая волна или не каждый луч, даже если он в пределах апертурного угла, может распространяться по световоду.

Рис.5.1. Вид Бесселевых функций

Каков смысл величин индексов n и m? Как мы уже отмечали раньше, в волокне распространяются только такие моды, у которых по диаметру волокна помещается целое число полуволн. Таким образом m - это число полуволн по окружности волокна, а n - число полуволн по диаметру. В таблице 5.1 приведены величины корней gr для некоторых значений m и n. Эти значения иногда называют нормированной частотой ν.

Таблица 5.1. Таблица значений нормированной частоты ν для некоторых m и n.

n ↓ Значения gr при m = Тип волны
      …..
  2.405 5.52 8.65 …… E0m
    3.83 7.02 ….. Enm
  3.83 7.02 10.2 …… Hnm
  2.45 5.54 8.67 ….. Enm
  5.14 8.42 11.6 ….. Hnm
….. ….. ….. …… ….. …..

При произвольном значении индексов в волокне возможно существование множества волн. Например, положим m = 3, а n = 2. При распаде волны Н23 может возникнуть 13 мод!

Если возьмём значения m =1 и n = 0 -1, то из таблицы 5.1 видно, что при p = gr от 0 до 2.405 может существовать только одна мода Е01.

При распространении произвольной волны по сердцевине и оболочке волокна имеет место соотношение

g12 + g22 = k12 – β2 + β2 – k22 = k12– k22 = k02 (n12 – n22) (5.12).

Если имеет место полное внутреннee отражение, то g2 = 0, и свет распространяется только по сердцевине, и тогда

(5.13).

Из (5.13) получаем для частоты f1 (домножив числитель и знаменатель на величину радиуса сердцевины r = a) выражение:

, или (5.14).

Таким образом для каждого решения pmn= ga существует своя мода, своя критическая частота, или, соответствующая ей длина волны

(5.15), где - апертура волокна.

Если pnm = ν = 2.405, то из (5.15) получаем условие одномодовости:

(5.16).

В типичном случае λ = 1.55 мкм, NA = 0.14 и диаметр одномодового волокна равен 6-10 мкм.

С увеличением диаметра число мод N в волокне резко возрастает:

- для ступенчатого волокна, (5.17);

- для градиентного волокна, (5.18).

Волновое сопротивление оптического волокна заключено в пределах

, где Ом – волновое сопротивление вакуума.

Ход волнового сопротивления волокна показан на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Изменение волнового сопротивления для некоторых мод в зависимости от частоты


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: