Операторы в квантовой механике. Уравнение Шредингера

Элементы квантовой механики. Соотношение неопределенностей.

Рисунок 15 Энергетические уровни атома водорода.

В свою очередь соотношение позволяет определить по известному значению постоянной Ридберга постоянную Планка:

.

Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерении определенные значения. Так, например, электрон или любая другая микрочастица не может иметь одновременно точных значений координаты и компоненты импульса . Неопределенность значений и удовлетворяют соотношению неопределенностей:

(*)

Соотношения, аналогичные (*), имеют место для и , для и , а также для ряда других пар величин. В классической механике такие пары величин называются канонически сопряженными.

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка , называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Величина с которой оперирует квантовая механика, является волновая функция частицы. Задачей квантовой механики является нахождение волновой функции частицы, движущейся под действием внешних сил. Уравнение, которому удовлетворяет волновая функция, установил Э.Шредингер в 1926 г. Это уравнение получило называние волнового уравнения или уравнения Шредингера. Сразу же подчеркнем, что ни о каком строгом или сколько- нибудь общем выводе этого уравнения не может быть и речи. Как и все основные уравнения физики (например, законы Ньютона, уравнения Максвелла для электромагнитного поля), уравнение Шредингера не имеет вывода. Оно явилось, с одной стороны, обобщением известных опытных данных, а с другой стороны, было великим научным предвидением. Правильность уравнения Шредингера и толкование смысла фигурирующей в нём волновой функции подтверждается огромным опытным материалом современной атомной и ядерной физики.

Уравнение называется временным волновым уравнением или временным уравнением Шредингера.

Последнее уравнение принято записывать в виде:

Здесь - оператор Лапласа (оператор представляет собой математическую запись действия, которое должно быть выполнено над выражением, следующим за оператором).

Уравнением Шредингера для стационарных состояний.

Волновое уравнение Шредингера играет в квантовой механике ту же роль, что уравнение Ньютона в классической механике. Его можно было бы назвать уравнением движения квантовой частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике – это значит определить значение - функции в каждый момент времени в каждой точке пространства.

Для получения закона движения частицы- волновой функции, помимо уравнения Шредингера, должны быть заданы начальные и граничные условия. Было бы неправильно считать, что с введением уравнения Шредингера увеличивается число аксиом, необходимых для описания физического мира, поскольку второй закон движения Ньютона, являющийся аксиомой классической механики, можно вывести из уравнения Шредингера, рассматривая входящие в него величины как средние, а не как определенные значения.

Волновая функция, описывающая движение частицы, вообще говоря, изменяется в пространстве и времени. Решив уравнение Шредингера для частицы, находящейся в конкретных физических условиях, мы получаем волновую функцию, которая содержит всю информацию о частице (в рамках соотношения неопределённости). Эта информация выражается в виде вероятностей, а не в виде конкретных чисел, за исключением тех случаев, когда некоторые переменные являются квантованными. Рассмотрим в качестве примера среднее значение положения частицы, описываемой волновой функцией частицы . Это значение мы получили бы, если бы в какой-то момент времени t экспериментально определяли положение большого числа частиц, описываемых одной и той же волновой функцией, и затем усреднили бы результаты.

Аналогичный способ можно использовать для вычисления среднего значения любой величины (например, потенциальной энергии), которая является функцией положения x частицы, описываемой волновой функцией . Это значение равно

Эта формула справедлива даже в том случае, когда G(x) зависит от времени, поскольку <G(x)> всегда нужно вычислять при определённом значении t, так как сама функция зависит от t.