- Функция распределения является неубывающей функцией.
- Область значений:
- Асимптотические свойства: (другими словами, прямые у =0 и у =1 являются асимптотами (левой и правой соответственно) графика y = F (x)).
- Вероятность того, что в произвольном испытании значение случайной величины Х будет принадлежать полуинтервалу где и – произвольные числа, вычисляется по формуле
.
Доказательство. Значение функции распределения равна вероятности соответствующего события, но область значений вероятности есть отрезок – тем самым доказано свойство 2.
Используя определение функции распределения, получаем . Но произвольное значение случайной величины принадлежит числовой прямой, поэтому событие является невозможным. Вероятность невозможного события равна нулю (см. § 1.3), поэтому
Аналогично, учитывая, что событие является достоверным, а вероятность такого события равна 1, получаем
Нетрудно видеть, что
причем события правой части этого равенства несовместны. Принимая во внимание определение функции распределения и теорему сложении вероятностей для несовместных событий, получаем
|
|
что равносильно свойству 4.
Доказательство свойства 1 мы оставляем читателю в качестве упражнения (указание: используйте рассуждении от противного и свойство 4).