Неформально говоря, случайная величина непрерывна, если ее значения полностью заполняют некоторый интервал. Более точно, справедливо
Определение. Случайная величина называется непрерывной,если ее функция распределения непрерывна на всей числовой прямой и дифференцируема при всех х за исключением, быть может, отдельных значений.
Определение. Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называется такая функция что вероятность того, что в произвольном испытании значение случайной величины Х окажется принадлежащим некоторому отрезку , вычисляется по формуле
Принимая во внимание геометрический смысл определенного интеграла, получаем
Геометрический смысл плотности распределения. Вероятность того, что в произвольном испытании значение случайной величины Х окажется принадлежащим некоторому отрезку , численно равна площади под кривой плотности распределения на данном отрезке (см. рис. 4).
Пример. Пусть плотность распределения случайной величины Х имеет вид:
|
|
Найти вероятности:
а) б) в)
Решение. а)По определению плотности распределения,
Вместе с тем, данная плотность распределения задана аналитически по-разному на промежутках и отрезка интегрирования. Соответственно, используя свойства определенного интеграла, получаем
По геометрическому смыслу плотности распределения, полученная вероятность численно равна площади под кривой плотности распределения (см. рис. 5) на отрезке , т.е. равна площади фигуры, составленной из отрезка длины 1 и прямоугольника со сторонами и 0,6.
б) Неравенство равносильно тому, что . Учитывая, что на промежутке данная плотность распределения равна 0, получаем
в) Аналогично предыдущим пунктам задачи, имеем
Рассмотрение геометрического смысла результатов последних двух пунктов данного примера мы оставляем читателю в качестве упражнения. ▶