Разделительные умозаключения

Разделительным называется умозаключение, в котором хотя бы одна посылка является разделительным (дизъюнктивным) суждением.

Различают чисто разделительные и разделительно-категорические умозаключения. Каждый из видов имеет несколько рабочих модусов, которые представлены в таблице.

Банк разделительных умозаключений.

	Чисто разделительные умозаключения	Разделительно-категорические умозаключения
Утверждающе-отрицающий модус (Modus ponendo tollens) Только строгая дизъюнкция.	Отрицающее-утверждающий модус (Modus tollendo ponens) В первой посылке должны быть перечислены все возможные варианты.
Строгая дизъюнкция	Нестрогая дизъюнкция
1 посылка	S есть A или B, или С	а Ú в	а Ú в	а Ú в	а Ú в	а Ú в	а Ú в
2 посылка	А есть А₁ или А₂	а	в	ù а	ù в	ù а	ù в
Вывод	S есть А₁ или А_2, или В, или С	ù в	ù а	в	а	в	а

Примеры разделительных умозаключений.

	S есть A или B, или С А есть А1 или А2 S есть А1 или А2, или В, или С	Есть наземный транспорт, водный и воздушный. Наземный транспорт ходит по земле и под землёй. Значит, точнее сказать, что есть наземный, подземный, водный и воздушный транспорт.
	а Ú в а ù в	Иванов постоянно проживает в Москве или Архангельске. Он постоянно проживает в Москве. Следовательно, он не проживает постоянно в Архангельске.
	а Ú в в ù а	Иванов постоянно проживает в Москве или Архангельске. Он постоянно проживает в Архангельске. Следовательно, он не проживает постоянно в Москве.
	а Ú в ù а в	Ребёнок, который родился у Петровых либо девочка, либо мальчик. Они сказали, что не девочка. Значит, точно мальчик.
	а Ú в ù в а	Ребёнок, который родился у Петровых либо девочка, либо мальчик. Они сказали, что не мальчик. Значит, точно девочка.
	а Ú в ù а в	Эта фирма брала на работу только очень хорошеньких девушек или талантливых программистов. Он не был хорошенькой девушкой. Значит, он был очень талантливым программистом.
	а Ú в ù в а	Эта фирма брала на работу только очень хорошеньких девушек или талантливых программистов. Она отнюдь не была талантливым программистом. Значит, была очень хорошенькой девушкой.

Определения

Чисто условное умозаключение — умозаключение, в котором обе посылки и заключение являются условными суждениями. Вывод в этом умозаключении основывается на правиле: следствие следствия есть следствие основания.

Условно-категорическое умозаключение — умозаключение, в котором одна из посылок — условное, а другая посылка и заключение — категорические суждения. Из четырех модусов этого умозаключения, исчерпывающих все возможные комбинации посылок, достоверные заключения дают два: утверждающий (modus ponens) и отрицающий (modus tollens). Они называются правильными модусами. Для них действует правило: утверждение основания ведет к утверждению следствия и отрицание следствия — к отрицанию основания. Два других модуса (от отрицания основания к отрицанию следствия и от утверждения следствия к утверждению основания) достоверных заключений не дают. Они называются неправильными модусами и подчиняются правилу: отрицание основания не ведет с необходимостью к отрицанию следствия и утверждение следствия не ведет с необходимостью к утверждению основания.

Разделительно-категорическое умозаключение — умозаключение, в котором одна из посылок — разделительное, а другая посылка и заключение — категорическое суждение. В утверждающе-отрицающем модусе (modus ponendo tollens) меньшая посылка (категорическое суждение) утверждает один из дизъюнктов, заключение отрицает другой (других) дизъюнкты. Заключение достоверно, если соблюдается правило: большая посылка должна быть исключающе-разделительным суждением (суждением строгой дизъюнкции). В отрицающе-утверждающем модусе (modus tollendo ponens) меньшая посылка отрицает один (или несколько) из дизъюнктов, заключение утверждает оставшийся дизъюнкт. Заключение достоверно, если соблюдается правило: в большей посылке должны быть перечислены все возможные суждения — дизъюнкты, иначе говоря, большая посылка должна быть полным (закрытым) дизъюнктивным высказыванием.

Сокращенный силлогизм (энтимема) — силлогизм с пропущенной посылкой или заключением.

≡≡Таблица сложения, умножения, имплицирования, эквиваленциирования

И Ù И= И	И Ú И= И	И ® И=И	И¹ И= Л	И«И= И	ØИ= Л
И Ù Л=Л	И Ú Л=И	И ® Л=Л	И ¹Л= И	И «Л= Л	ØЛ= И
ЛÙ И=Л	ЛÚИ=И	Л ®И=И	Л ¹И= И	Л «И= Л
ЛÙ Л=Л	ЛÚ Л=Л	Л ® Л=И	Л ¹Л= Л	Л «Л= И

	И Ù И= И
	И Ù Л=Л
	ЛÙ И=Л
	ЛÙ Л=Л
	ØИ= Л
	ØЛ= И
	И Ú И= И
	И Ú Л=И
	ЛÚИ=И
	ЛÚ Л=Л
	И ® И=И
	И ® Л=Л
	Л ®И=И
	Л ® Л=И
	И¹ И= Л
	И ¹Л= И
	Л ¹И= И
	Л ¹Л= Л
	И«И= И
	И «Л= Л
	Л «И= Л
	Л «Л= И

			И ¹Л= И	А
			Л ¹И= И	А
			ØЛ= И	В
			И Ú И= И	В
			И ® Л=Л	В
			И«И= И	В
			Л ¹Л= Л	Г
			ЛÙ И=Л	Еее
			И Ú Л=И	Л
			И Ù И= И	Н
			И Ù Л=Л	О
			И¹ И= Л	О
			Л ® Л=И	П
			И ® И=И	Р
			ØИ= Л	Сссл
			И «Л= Л	Цф
			ЛÚ Л=Л	Цы
			ЛÙ Л=Л	Чспт
			Л «И= Л	Ш
			ЛÚИ=И	Ы
			Л ®И=И	Ы
			Л «Л= И	ы

			И ¹Л=	И
			Л ¹И=	И
			ØЛ=	И
			И Ú И=	И
			И ® Л=	Л
			И«И=	И
			Л ¹Л=	Л
			ЛÙ И=	Л
			И Ú Л=	И
			И Ù И=	И
			И Ù Л=	Л
			И¹ И=	Л
			Л ® Л=	И
			И ® И=	И
			ØИ=	Л
			И «Л=	Л
			ЛÚ Л=	Л
			ЛÙ Л=	Л
			Л «И=	Л
			ЛÚИ=	И
			Л ®И=	И
			Л «Л=	И

1. И ¹Л≡ 2. Л ¹И≡ 3. ØЛ ≡ 4. И Ú И ≡ 5. И ® Л ≡ 6. И«И ≡ 7. Л ¹Л ≡ 8. ЛÙ И ≡ 9. И Ú Л ≡ 10. И Ù И ≡ 11. И Ù Л ≡ 12. И¹ И ≡ 13. Л ® Л ≡ 14. И ® И ≡ 15. ØИ ≡ 16. И «Л ≡ 17. ЛÚ Л ≡ 18. ЛÙ Л ≡ 19. Л «И ≡ 20. ЛÚИ ≡ 21. Л ®И ≡ 22. Л «Л ≡

1. И 2. И 3. И 4. И 5. Л 6. И 7. Л 8. Л 9. И 10. И 11. Л 12. Л 13. И 14. И 15. Л 16. Л 17. Л 18. Л 19. Л 20. И 21. И 22. И

А	В	А Ù В	А Ú В	А ¹ В	А ® В	А «В	А	Ø А
И	И	И	И	Л	И	И	И	Л
И	Л	Л	И	И	Л	Л	Л	И
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

A	В	(А Ú В)	(А & В)	Ø(А & В)	((А Ú В) & Ø(А & В))	(А Ñ В)
и	и	и	и	л	л	л
и	л	и	л	и	и	и
л	и	и	л	и	и	и
л	л	л	л	и	л	л

	Пример	Название	Чтение формулы
1.1. A É B, A ├ B	Если у человека повышенная температура, он болен. У человека повышенная температура. Человек болен.	modus ponens	От утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) переходим к утверждению следствия (консеквента) этого высказывания: Если А, то В. А. Следовательно, В.
1.2. A É B, Ø B ├ Ø A	Если гелий — металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен. Гелий — не металл.	modus tollens	Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А.
1.3. A É B, B É C ├ A É C	Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека.	транзистивность импликации — B'	Если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго — истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого. Если (если А, то В) и (если В, то С), то (если А, то С).
1.4. ├ (B É C) É ((A É B) É (A É C))	Если верно, что вы хорошо разбираетесь в теоретическом материале, то вы легко выполняете практические задания, то посещая лекции вы хорошо разбираетесь в теоретическом материале и следовательно, посещая лекции легко выполняете практические задания.	второй принцип транзистивности импликации — B	Импликация, содержащая в качестве антецедента импликации, а в качестве консеквента импликацию импликаций с одинаковыми антецедентами, а консеквенты являются антецедентом и консеквентом первой импликации.
1.5. ├ (A É (A É B)) É (A É B)	Если верно, что если по проводнику пустить ток, то благодаря этому току он нагреется, то, пустив ток, проводник нагревается.	сокращение — W
1.6. ├ (A É (B É C)) É (B É (A É C))	Если верно, что если ходишь на лекции, то, параллельно посещая семинары, получишь зачёт, то если ходить на семинары, то, параллельно посещая лекции, получишь зачёт.	перестановка — C
1.7. ├ A É A	Если трава зеленая, то она зеленая, если трава черная, то она черная.	закон тождества — I	Всякое высказывание влечет (имплицирует) само себя. А в том и только том случае, если А. закон тождества выражает тождество между понятием и суммой его признаков.(Кргу 1770-1842)
1.8. ├ A É (B É A)	Если на улице светло, то светло из-за солнца.	закон утверждения консеквента — K	Импликация содержит в качестве консеквента импликацию, содержащую в качестве консеквента антецедент первой импликации.
1.9. ├ ((A É B) É A) É A)	Если верно что, пуская ток, проводник нагревается благодаря этому току, то надо пустить ток.	закон Пирса	Импликация содержит в качестве антецедента импликацию, содержащую в качестве антецедента импликацию.
1.10. ├ (A É (B É C)) É ((A É B) É (A É C))	Если верно, что если ходишь на лекции, то, параллельно посещая семинары, получишь зачёт, то если для семинаров необходимы записи лекций, то, посещая лекции, получишь зачёт.	самодистрибутивность импликации — S
1.11. A & B ├ B & A	Подул ветер, и деревья закачались.	коммутативность конъюнкции	А и В
1.12. A & (B & C) ├ (A & B) & C	Пошел дождь, и пассажиры заняли свои места, и поезд тронулся.	ассоциативность конъюнкции	А и (В и С)
1.13. (A & B) É C ├ A É (B É C)	Если верно, что если ходить на лекции и на семинары, то получишь зачет, то если ходить на лекции, то, посещая семинары, получишь зачет.	экспортация	Импликация, содержащая в себе в качестве антецедента конъюнкцию, эквивалентна импликации содержащую в качестве антецедента Iч. конъюнкции в качестве консеквента импликации, где антецедент – член конъюнкции, а консеквент – к Iч. импликации
1.14. A É (B É C) ├ (A & B) É C	Если верно, что если ходить на лекции, то, посещая семинары, получишь зачет если ходить на лекции и на семинары, то получишь зачет.	импортация	Импликация, содержащая в себе в качестве антецедента конъюнкцию эквивалентна импликации содержащую в качестве антецедента Iч. конъюнкции в качестве консеквента импликации где антецедент – член конъюнкции а консеквент – к Iч. импликации
1.15. A & B ├ A	Есть возможность поехать поездом или полететь самолетом, мы не поехали поездом значит, мы полетели самолетом.	удаление первого конъюнкта	Исключение второго конъюнкта дает 1 член конъюнкции
1.16. A & B ├ B	Есть возможность поехать поездом или полететь самолетом, мы не поехали поездом значит, мы полетели самолетом.	удаление второго конъюнкта	Исключение первого конъюнкта дает 2 член конъюнкции
1.17. A, B ├ A & B	Есть лекции, есть семинары необходимо их одновременное выполнение.	введение конъюнкции	Объединение двух условий в конъюнкцию
1.18. A É (A Ú B)		введение дизъюнкции
1.19. B É (A Ú B)		введение дизъюнкции
1.20. A Ú B ├ B Ú A	Он способен или он прилежен. либо Он прилежен или он способен.	коммуникативность дизъюнкции	Высказывание «A или В» истинно в том и только в том случае, когда истинно по крайней мере одно из составляющих его высказываний, и ложно, когда оба составляющие его высказывания ложны.
1.21. A Ú (B Ú C) ├ (A Ú B) Ú C	Число может быть положительным или отрицательным или нулем, значит, число может быть положительным или отрицательным или нулем.	ассоциативность дизъюнкции	А или (В или С), значит, (А или В) или С.
1.22. A Ú B, Ø A ├ B	На улице сейчас день или ночь, сейчас не день, значит, сейчас ночь.	tollendo ponens	А или В, не А, значит, В.
1.23. ├ (A & (B Ú C)) É ((A & B) Ú (A & C))	Если на улице идет снег и на улице холодно или очень холодно, то либо на улице идет снег и холодно, либо на улице идет снег и очень холодно.	законы дистрибутивности	Если А и (В либо С), то (А и В), либо (А и С).
1.24. ├ (A Ú (B & C)) É ((A Ú B) & (A Ú C))	Завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и снег тогда и только тогда, когда завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и завтра будет солнечно или послезавтра будет снег.	законы дистрибутивности	Если А или (В и С), то (А, либо В) и (А, либо С).
1.25. ├ ((A & B) Ú (A & C)) É (A & (B Ú C))	Если на улице не лето и идет снег или на улице не лето и холодно, значит, на улице не лето и идет снег или холодно.	законы дистрибутивности	Если ((А и В) или (А и С), значит, (А и (В или С).
1.26. ├ ((A Ú B) & (A Ú C)) É (A Ú (B & C))	Если завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и завтра будет солнечно или послезавтра будет снег, значит, завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и снег.	законы дистрибутивности	Если ((А или В) и (А или С)), значит, (А или (В и С)).
1.27. A É B, A É C ├ A É (B & C)	Если животное – собака, то оно легко поддается дрессировке. Если животное – собака, то она«друг человека». Если это животное – собака, то оно легко поддается дрессировке, и оно является «другом человека».	законы дистрибутивности	А есть В, А есть С, значит, А есть В и С.
1.28. ├ (A Ú B) É ((A É B) É B)	Если темно или село солнце, то, если бывает темно, только когда садится солнце, значит, оно село.	дизъюнкция и конъюнкция	Если (А и В), то ((А означает, что В), значит, В).
1.29. ├ ((A É B) É B) É (A Ú B)	Если идет дождь, показывающий, что на улице сыро, значит, на улице сыро, то на улице сыро и идет дождь.		Если ((А означает В), значит, В), то (А и В).
1.30. ├ ((A É B) É B) É ((B É A) É A)	Если мне холодно говорит о том, что я мерзну, значит, я мерзну, то я мерзну, говорит о том, что мне холодно, значит, мне холодно.		Если ((А означает В), значит, В), то ((В означает А), значит, А).
1.31. ├ Ø (A & Ø A)	Неверно, что завтра будет дождь и завтра не будет дождя.	закон противоречия	Отрицание А и не А.
1.32. ├ A Ú Ø A	Или я сижу, или я не сижу.	закон исключенного третьего	Или А, или не А. «Истинность и ложность противоречащих предложений несовместима» Вольф устанавливает следующее выражение для рг. exclusi tertii: «Propositionum contradictoriarum altera necessario vera» [4]. А есть или В, или non В. Всякая вещь есть или А, или не А. А есть или b, или не b. „за всяким субъектом один и тот же предикат можно или признавать, или отрицать" (Шопенгауэр )
1.33. Ø Ø A Ú ├ A	Если неверно, что это не телефон, значит это телефон.	снятие двойного отрицания	Отрицание не А эквивалентно А.
1.34. A ├ Ø Ø A	Если это клавиатура, значит это не есть неклавиатура.	введение двойного отрицания	А эквивалентно отрицанию не А.
1.35. A É B, A É Ø B ├ Ø A	Я сын папы, если я не сын папы, значит это не я.	введение отрицания
1.36. Ø (A & B) ├ Ø A Ú Ø B ( ~ (p & q) = (~ p v ~q) )	Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо.	законы де Моргана	отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний неверно, что р и q, если и только если неверно р и неверно q
1.37. Ø A Ú Ø B ├ Ø (A & B) ~ (p v q) = (~ p & ~ q)	Верно, что завтра не будет философии и не будет логики тогда, и только тогда, когда завтра не будет философии и логики.	законы де Моргана геометрии	Дизъюнкция отрицаний А и В эквивалентна отрицанию конъюнкции А и В.
1.38. Ø (A Ú B) ├ Ø A & Ø B	Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии.	законы де Моргана	отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний. неверно, что или р, или q, если и только если неверно р и неверно q
1.39. Ø A & Ø B ├ Ø (A Ú B)	Если сегодня не будет дождя и не будет снега, значит, сегодня не будет дождя или снега.	законы де Моргана	Конъюнкция отрицаний эквивалентна отрицанию дизъюнкции.
1.40. A É B ├ Ø A Ú B		выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание	Импликация эквивалентна дизъюнкции, содержащей отрицательный антецедент.
1.41. Ø A Ú B ├ A É B		выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание	Дизъюнкция, содержащая отрицательный антецедент эквивалентна импликации.
1.42. A É B ├ Ø (A & Ø B)		выражение импликации через конъюнкцию и отрицание	Импликация эквивалентна отрицательной конъюнкции с отрицательным консеквентом.
1.43. Ø (A & Ø B) ├ A É B		выражение импликации через конъюнкцию и отрицание
1.44. A & B ├ Ø (A É Ø B)		выражение конъюнкции через импликацию и отрицание
1.45. Ø (A É Ø B) ├ A & B		выражение конъюнкции через импликацию и отрицание
1.46. Ø (A É B) ├ A & Ø B		связь конъюнкции и импликации
1.47. A & Ø B ├ Ø (A É B)		связь конъюнкции и импликации
1.48. Ø (A É B) ├ A É Ø B
1.49. A É B ├ Ø B É Ø A		контрапозиция
1.50. Ø B É Ø A ├ A É B	Проводник нагревается, если по нему течет ток. Если не течет ток, значит, проводник не нагревается.	обратная контрапозиция	Импликация отрицаний эквивалентна обратной импликации утверждений.
1.50.* (A & B) É C ├ (A & Ø C) É Ø B	Если есть телевизор и ток в сети, значит, он показывает. Если есть телевизор и он не показывает, значит, нет тока.	сложная контрапозиция	Импликация, содержащая конъюнкцию в качестве антецедента эквивалентна импликации содержащей конъюнкцию элементов, которые являются отрицанием консеквента
1.51. A É C, B É C, A Ú ├ C	Если есть истопленная печка, есть тепло. Если есть хорошие дрова, тоже будет тепло.	простая конструктивная дилемма
1.52. A É C, B É D, A Ú B ├ C Ú D	Пожар. Если идешь по коридору - отравишься дымом; если прыгать в окно – сломаешь ногу. Нужно либо в коридор, либо в окно. Следовательно, либо отравишься дымом, либо сломаешь ногу.	сложная конструктивная дилемма	Дизъюнкция антецедентов двух импликаций эквивалентна дизъюнкции их консеквентов.
1.53. A É B, A É C, Ø B Ú Ø C ├ Ø A	Если есть огонь, то есть жар. Если есть огонь, то есть дым; Если нет ни жара ни дыма, значит нет огня.	простая деструктивная дилемма	Дизъюнкция отрицаний консеквентов двух импликаций эквивалентна отрицанию их общего антецедента.
1.54. A É B, D É C, Ø B Ú Ø C ├ Ø A Ú Ø D	На улице светит солнце, значит солнечный день. Печка истоплена – дома будет тепло. Если на улице не светло или дома не тепло значит, на улице не светит солнце или печь не истопили.	сложная деструктивная дилемма	Дизъюнкция отрицаний консеквентов двух импликаций эквивалентна дизъюнкции отрицаний антецедентов.
1.55. ├ (A É B) Ú (B É A)	Если Шамиль сильнее, то он победит Наджибулу. ИЛИ Если Наджибула сильнее, то он победит Шамиля.	закон линейности	Дизъюнкция прямой и обратной импликации.
1.56. ├ ((A É B) É (B É A)) É (B É A)		закон линейности	Импликация дизъюнкции прямой и обратной импликации и обратной импликации.
1.57. ├├ Ø A Ú Ø Ø A	Либо нельзя хвалить, либо нельзя не похвалить.	слабый закон исключенного третьего	Дизъюнкция отрицания и двойного отрицания.
1.58. (A É (B É C)) ├ (B É (A É C))	Если выборы состоятся, то если будет кандидат Сидоров, то я за него проголосую. Если кандидат Сидоров выдвинет свою кандидатуру, то если выборы состоятся, я за него проголосую.	закон перестановки антецедентов	Импликация, соединяющая в качестве консеквента другие импликации эквивалентные такой же импликации содержащей перестановку антецедентов.