Уравнение колебаний струны

Задания для самостоятельной работы

Определить тип уравнения и привести к каноническому виду

1. . 2. . 3. .

4. . 5. .

6. .

7. .

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Уравнение колебаний струны

Рассмотрим струну, под которой понимается тонкая нить, не сопротивляющаяся изгибу, длиной l. Пусть эта струна в плоскости (x,u) совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью Ох, то есть все точки струны движутся перпендикулярно оси Ох. Обозначим через u(x,t) отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой х в момент времени t. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение в точке х в момент времени t направлено по касательной к струне в точке х. Любой участок струны (а,b) после отклонения от положения равновесия в предположении о пренебрежении величинами высшего порядка малости по сравнению с , не изменит своей длины

(16)

и, следовательно, величина натяжения будет постоянной Т ₀, не зависящей от х и t, так как закон Гука гласит: изменение натяжения пропорционально изменению длины выделенного участка.

Составим уравнение движения струны. На элемент струны (х, ) действуют силы натяжения и внешняя сила , действующая на струну в точке х в момент времени t и направленная перпендикулярно оси Ох.

Сумма сил, действующих на струну, согласно закону Ньютона должна быть равна произведению массы элемента струны на его ускорение

, (17)

где - масса элемента струны (х, );

- единичный вектор, направленный вдоль оси u.

Проектируя векторное равенство (17) на ось u, получим

, (18)

но в рамках приближения

,

поэтому выражение (18) принимает вид

и при , получим

. (19)

Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны. Если F(x,t)¹ 0, то колебания струны будут вынужденными, а если F(x,t)= 0, то колебания струны будут свободными.

Если , то уравнение (19) принимает вид

, (20)

где .

Уравнение (20) называется одномерным волновым уравнением. Для волнового уравнения может быть поставлена задача Коши, и в этом случае необходимо найти функцию u(x,t), удовлетворяющую начальным условиям

где - заданные функции.