Поставим задачу Коши для однородного волнового уравнения, т.е. найдем решение уравнения
, (21)
удовлетворяющее начальным условиям
. (22)
Эту задачу (21), (22) можно решить методом Даламбера. Введем новые переменные
.
Вычислим :
и подставим их в уравнение (21)
.
После сокращений получим
. (23)
Интегрирование этого уравнения дает
Возвращаясь к переменным х и у, окончательно будем иметь
. (24)
Функция является решением уравнения (21), если и 1 и и 2 - произвольные дважды дифференцируемые функции. В решении (24) необходимо выбрать функции и 1 и и 2 так, чтобы удовлетворить начальным условиям (22)
(25)
и
. (26)
Проинтегрировав уравнение (26) в пределах от х 0 до х, получим
. (27)
Разрешив совместно уравнения (25) и (27) относительно и 1(х) и и 2(х), получим
(28)
(29)
Подставив (28) и (29) в решение (24) окончательно получим решение задачи Коши для однородного волнового уравнения
. (30)
Формула (30) называется формулой Даламбера для однородного волнового уравнения. Эта формула дает классическое решение задачи (21), (22) только в предположении, что функция имеет производные до второго порядка включительно, а функция - до первого.
|
|
Пример 6. Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
▲ Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (30)
,
в которой .
Следовательно,
Окончательно решение исходной задачи имеет вид
▲
Рассмотрим задачу Коши для неоднородного волнового уравнения
, (31)
. (32)
Пусть есть решение вспомогательной задачи Коши
, (33)
При
. (34)
Формула Даламбера (30) дает
. (35)
Перепишем формулу Даламбера (30) в виде
, (36)
где
являются решениями задачи (33), (34) при и соответственно, т.к. непосредственное дифференцирование показывает, что
.
Решение неоднородного уравнения (31) с нулевыми начальными условиями
имеет вид
. (37)
Поэтому в силу (36) и (37) решение исходной задачи (31), (32) можно представить в виде
. (38)
Таким образом, с учетом (35), окончательно получим
.(39)
Это формула Даламбера, которая дает решения задачи Коши для неоднородного волнового уравнения.
Пример 7. Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
▲ Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (39)
в которой .
Следовательно,
Окончательно решение исходной задачи имеет вид
▲