2015-01-30
900
Задача Коши для волнового уравнения
(40)
с начальными условиями
(41)
где 
– неизвестная функция, 
– заданы, может быть решена методом Тейлора. Для этого необходимо разложить функцию 
при любом фиксированном 
в ряд Тейлора по времени относительно точки t =0 (ряд Маклорена)
(42)
Если найти коэффициенты 
, то по формуле (42) получим решение. Заметим, что 
определяются из начальных условий (41).
Разложим в ряд Маклорена функцию 
в правой части уравнения (40)
(43)
Поскольку функция задана, то все 
могут быть найдены.
Выражения для второй частной производной 
и оператора Лапласа 
, фигурирующих в уравнении (40), следуют из (42)
(44)
Подставим (43) и (44) в уравнение (40). В результате получим равенство
Это равенство равносильно соотношениям
(45)
которые определяют коэффициенты 
и т.д. через 
, заданные в начальных условиях (41).
Таким образом, решение задачи Коши (40)–(41) выражается формулой:
(46)
где заданы в (41), а остальные 
находятся по (6)
(47)
Пример 8. Найти решение уравнения
▲ Здесь 
Так как 
и 
, то по (47) 
Отсюда
То есть, все остальные 
Подставляем найденные 
в решение (46)
Окончательно,
▲
Пример 9. Найти решение уравнения
▲ Здесь 
Так как 
и 
, то по (47)
Найдем по этой формуле
И так далее, все остальные
Подставляем полученные 
в решение (46)
Таким образом, решением исходного уравнения является функция
▲
