Элементы исчисления высказываний

Прежде, чем строго определить понятие логической закономерности, необходимо ввести несколько вспомогательных определений. Это даст нам возможность не только описать один из конкретных алгоритмов поиска логических закономерностей, но и более строго говорить о том, о чем шла речь в предыдущих параграфах.

Пусть X₁, X_2,..., X_m, Y₁, Y_2,..., Y_n – какие-то изучаемые нами признаки. Назовем элементарными высказываниями (суждениями) выражения вида: (X₂ = 5); (3 £ X_n £ 5) (такого рода высказывания здесь нас не интересует, поскольку они касаются порядковых шкал, а мы рассматриваем только номинальные признаки, но порядковые шкалы, вообще говоря, конечно, отнюдь не безынтересны для социолога; поэтому мы не будем сокращать изложение цитируемых авторов за счет ликвидации всего, что с ними связано); (Y₄ = 34,2) и т.д.

Будем продолжать считать, что читателю знакомы логические связки ù, &, Ú, É (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация) и отвечающие им таблицы истинности, и введем определение логической формулы, являющееся ключевым для математической логики и принадлежащее тому ее разделу, который носит название “исчисление высказываний”. Определение рекурсивно:

1) все элементарные суждения суть формулы;

2) если F₁ и F₂ – формулы, то и (ùF₁), (F₁ & F₂)_, (F₁ Ú F₂), (F₁ É F₂) – формулы;

3) других формул, кроме тех, что получаются в соответствии с предыдущими пунктами, не существует.

Ниже формулы будем называть также суждениями или высказываниями.

Теперь приведем рекурсивное определение длины формулы:

1) Все элементарные суждения и их отрицания имеют длину, равную единице;

2) Если формула F₁ имеет длину m, а формула F₂ – длину n, то формулы (F₁&F₂)_, (F₁ Ú F₂), (F₁ É F₂) имеют длину (m + n).

Описание языка математической логики (в рамках т.н. узкого исчисления предикатов) будет продолжено в п. 2.5.6).