Методы решенияалгебраических уравнений

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Развитие численных методов решения задач. Понятие вычислительного эксперимента. Классификация и элементы анализа погрешностей приближенных вычислений

Численные методы алгебры

Итерационные методы решения алгебраических уравнений и систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений. Приближенные методы нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц

Численные методы математичекого анализа

Приближения функций интерполяционными многочленами и сплайнами. Среднеквадратичные приближения. Численное дифференцирование и интегрирование.

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений

Одношаговые и многошаговые разностные схемы для задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Разностные схемы для краевых задач для ОДУ 2-го порядка.

[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

[Home|Кафедра|ПетрГУ] Роль численныхметодов

Понятие точного и приближенногорешения математической задачи.
Суть метода математического моделирования.
Развитие инструментальных средств вычислений.

Вычислительный эксперимент
как современная компьютерная форма метода математического моделирования.
Технологическая цепочка вычислительногоэксперимента:
- построение математической модели
- конструирование вычислительного алгоритма
- реализация алгоритма на ЭВМ
- проведение расчетов
- анализ результатов.

Метод вычислительной математики.

Источники и классификацияпогрешностей

Источники погрешностей:
- погрешность модели
- погрешность метода
- вычислительная погрешность.

Абсолютная и относительнаяпогрешность приближенного значения.

Погрешности арифметическихопераций

Оценка абсолютной погрешностизначения функции
через погрешности ее аргументов.

Оценки абсолютной и относительной погрешностей арифметическихопераций:
- сложение
- вычитание
- умножение
- деление.

Обратная задача оценкипогрешности.

Методы решенияалгебраических уравнений

Этапы приближенного решенияуравнения
- поиск начального приближения или отрезка, содержащего корень
- уточнение приближенного решения иетационным методом

Метод деления отрезка пополам(метод дихотомии)
(на каждом шаге итерационного процесса отрезок, содержащий корень,
делится пополам)

Метод хорд
(на каждом шаге итерационного процесса кривая на отрезке,
содержащем корень, заменяется хордой)

Метод Ньютона (метод касательных)
(на каждом шаге итерационного процесса кривая на отрезке,
содержащем корень, заменяется касательной)

Примеры решения алгебраических уравнений
метод хорд
метод касательных
комбинированный метод хорд и касательных
с помощью встроенной функции root

Метод Гаусса решениясистем
линейных алгебраических уравнений

Орешении систем линейных алгебраических уравнений

Прямойход метода Гаусса
приведение матрицы системы к треугольному виду

Обратныйход метода Гаусса
последовательное вычисление значений неизвестных

МетодГаусса с выбором главного элемента

Оценкавычислительных затрат

Вычислениеопределителя

Нахождениеобратной матрицы

Примеррешения системы линейных уравнений методом Гаусса