Степенной метод

Степенной метод позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор.

Пусть - собственные числа матрицы A. Для определенности предположим, что

Берем произвольный ненулевой вектор . Строим последовательность векторов

, ,...,

Тогда

(38)

для любого номера i=1,2,...,n.

Точнее

(*)

Докажем это в предположении, что матрица A имеет n линейных независимых собственных векторов . Запишем разложение вектора по базису из собственных векторов

.

Тогда

Так как для k=2,...,n и для k=3,...,n, то отсюда следует, что при выполняется соотношение (*)

Взяв достаточно большой номер итерации m, мы сможем с любой степенью точности определить по формуле (38) наибольший по модулю корень характеристического уравнения для матрицы A. Для нахождения этого корня может быть использована любая координата вектора , в частности, можно взять среднее арифметическое соответствующих значений.

Так как , то при

.

Поскольку собственный вектор определяется с точностью до скалярного множителя, то сам вектор приближенно представляет собой собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .