Устойчивость на модельной задаче

Исследуем устойчивость разностной схемы (15) на модельной задаче

, , .

Для модельного уравнения схема примет вид

или

Ошибка! Закладка не определена..

Последнее уравнение является частным случаем трехточечного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами:

(16)

В уравнении (16) любое его решение однозначно определяется заданием значений в двух соседних узлах сетки. Действительно, зная , находим , и т.д. Если - два линейно независимых решения уравнения (16), то общее решение этого уравнения можно записать в виде линейной комбинации:

(17)

Убедимся, что формула (17) в самом деле дает общее решение уравнения (16). Пусть - некоторое решение (16), и - его значения в узлах . Тогда из (17) получаем систему

которая однозначно разрешима относительно в силу линейной независимости решений .

Общее решение (17) можно найти явно. Для этого находим два решения вида , подставляя в уравнение (16). В таком случае получается квадратное уравнение относительно :

Для устойчивости разностной схемы должно выполняться неравенство

(18)

В нашем случае , поэтому неравенство (18) будет выполняться, если Квадратное уравнение для в нашем случае имеет вид

, где .

Заметим, что дискриминант этого уравнения всегда положителен, поскольку

Кроме того, заметим, что в квадратном уравнении вида

условие на корни выполняется, если , т.к.

В нашем случае , поэтому условие устойчивости запишется как неравенство

выполняющееся при

Таким образом, условие устойчивости двухточечной схемы Адамса на модельной задаче принимает вид (допустимый шаг в два раза меньше, чем в схеме Эйлера).