2015-01-30
480
Для построения 
-шаговой неявной (интерполяционной) схемы будем использовать интерполяционный многочлен Ньютона, построенный по значениям функции 
в узлах 
:
,
где
,
,
............................................
Воспользуемся формулой
.
Подставляя в эту формулу интерполяционный многочлен, получим общий вид неявной схемы Адамса:
,
где коэффициенты 
имеют новый смысл:
, т.е. 
, и т.д.
В частности, полагая 
, получим двухшаговую неявную схему Адамса:
(19)
4.9.2. Двухшаговая схема: погрешность аппроксимации
и устойчивость на модельной задаче
Аналогично разделу 3.8.2., определим порядок аппроксимации неявной двухточечной семы Адамса (19). Погрешность аппроксимации запишется следующим образом:
,
где
,
- точное решение задачи Коши.
Тогда справедливы следующие разложения:
,
,
.
С учетом этих разложений формула для погрешности аппроксимации примет вид
Однако очевидно, что 
, поэтому для погрешности аппроксимации получаем соотношение 
, а значит, двухточечная неявная схема Адамса имеет порядок аппроксимации, равный трем.
Исследуем устойчивость схемы (19) на модельной задаче
, 
, 
.
Для этой задачи схема (19) примет конкретную форму трехточечного разностного однородного уравнения с постоянными коэффициентами:
.
Подставляя в это уравнение частное решение вида 
, получим квадратное уравнение для 
:
или
,
где 
. Поскольку 
, можно записать неравенство для корней квадратного уравнения:
.
В силу последнего неравенства, если выполнены условия 
, то
.
Это значит, что для устойчивости разностной схемы достаточно выполнения неравенства
,
что равносильно ограничению на шаг разностной схемы 
.
