Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме

(28)

на интервале с краевыми условиями первого рода:

(29)

Если , , то такая краевая задача описывает стационарное распределение тепла в стержне (- температура в точке , - коэффициент теплопроводности). Задача имеет единственное решение, если - кусочно-непрерывные функции. Возможны также другие типы краевых условий:

(30)

При эти условия называются краевыми условиями второго рода, при - условиями третьего рода.

Введем на отрезке равномерную сетку

и запишем трехточечную разностную схему для краевой задачи (28)-(29) в прогоночном виде

, , (31)

где коэффициенты зависят от значений функций в узлах сетки, а также от шага .

Перепишем разностную схему (31) в виде

, , (32)

где . Схема называется однородной, если ее коэффициенты во всех узлах сетки для любого линейного дифференциального уравнения вычисляются по одним и тем же правилам. Для однородной схемы удобна система безиндексных обозначений:

(33)

Здесь .

Найдем погрешность аппроксимации схемы (33):

Пользуясь теперь разложением

получаем:

,

Тогда погрешность аппроксимации предстанет в виде:

Таким образом, схема (33) будет иметь второй порядок аппроксимации, если будут выполнены условия:

,

,

Например, эти условия выполняются при

(34)

где . Действительно,

,

поэтому

, .