Метод градиента (метод скорейшего спуска)

Пусть имеется система нелинейных уравнений:

(12.13)

Систему (5.13) удобнее записать в матричном виде:

(12.14)

где - вектор – функция; - вектор – аргумент.

Решение системы (5.14), как и для системы линейных уравнений (см. п. 3.8), будем искать в виде

(12.15)

Здесь и - векторы неизвестных на p и p + 1 шагах итераций; вектор невязок на p -ом шаге – f^(p) = f (x^(p)); W'_p – транспонированная матрица Якоби на p – ом шаге;

;

.

Пример 12.2. Методом градиента вычислим приближенно корни системы

расположенные в окрестности начала координат.

Имеем:

Выберем начальное приближение:

По вышеприведенным формулам найдем первое приближение:

Аналогичным образом находим следующее приближение:

Ограничимся двумя итерациями (шагами), и оценим невязку: