Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть корень ξуравнения

f (x) = 0, (11.13)

отделен на отрезке [ a, b ], причем первая и вторая производные f¢ (x) и f¢¢ ( x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Найдя какое-нибудь n -ое приближение корня , мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Пусть

ξ = x_n + h_n, (11.14)

где h_n - величина малая. Отсюда по формуле Тейлора получим (ограничиваясь первым порядком малости относительно h_n)

f (x_n + h_n) = f (x_n) + h_n f¢ (x_n) = 0. (11.15)

Следовательно,

h_n = - f (x_n) / f¢ (x_n). (11.16)

Подставив полученное выражение в формулу (4.14), найдем следующее (по порядку) значение корня:

(11.17)

Проиллюстрируем графически нахождение корня методом Ньютона (рис. 11.3.).

Рис. 11.3. Уточнение корня методом касательных

Если вкачестве начального приближения выбрать точку х₀ = В₀, то процесс быстро сходится. Если же выбрать точку х₀ = А₀, то х₁ [ a, b ], и процесс нахождения корня расходится. Рекомендуется: в качестве х₀ выбрать точку, где f(x)·f¢¢(x) > 0.