Пусть f (a) ·f (b) < 0, а f¢(x) и f¢¢ (x) сохраняют постоянные знаки на отрезке [ a¸ b ]. Соединяя метод хорд и метод касательных, получаем метод, на каждом шаге которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня ξуравнения f (x) = 0.Теоретически здесь возможны четыре случая:
· f¢(x) > 0; f¢¢ (x) > 0;
· f¢(x) > 0; f¢¢ (x) < 0;
· f¢(x) < 0; f¢¢ (x) > 0;
· f¢(x) < 0; f¢¢ (x) < 0.
Рассмотрим только первый случай, так как остальные три ведут себя аналогично и могут быть сведены к первому.
Итак, пусть f¢ (x) > 0 и f¢¢ (x) > 0при . Полагаем, что (для метода хорд), (для метода касательных). Тогда новые значения корня вычисляем по формулам
(11.18)
Рис. 11.4 наглядно иллюстрирует суть комбинированного метода.
Рис. 11.4. Уточнение корня комбинированным методом
Доказано, что . Следует обратить внимание на то, что на каждом шаге метод хорд применяется к новому отрезку . Если задать максимальное значение погрешности ε > 0,процесс уточнения значения корня продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие
|
|
. (11.19)
Пример 11.1. Вычислить с точностью до 0.0005 положительный корень уравнения
f(x) = x5 – x – 0.2 = 0.
На первом этапе отделения корней выбрали интервал [1.0, 1.1], на концах которого функция имеет противоположные знаки. Действительно,
f (1) = – 0.2 < 0, f (1.1) = 0.31051 > 0. В выбранном нами интервале f¢¢ (x) > 0, f¢¢ (x) > 0, то есть знаки производных сохраняются.
Применим комбинированный метод, приняв . По формулам (4.18) вычислим
.
Так как точность недостаточная (погрешность велика), вычислим следующие значения:
Таким образом, за два шага мы обеспечили требуемую точность.