По сгруппированным данным

Часть 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Таблица 2.1.

Точечные оценки основных параметров распределения

Оцениваемый параметр генеральной совокупности	Его выборочная точечная оценка
По простой выборке x 1 x 2 … xi … xn n - объём выборки

По сгруппированным данным

xi	x 1	x 2	…	xi	…	xl
mi	m 1	m 2	…	mi	…	ml

m_i – частота встречаемости значения признака x_i; - объём выборки

Генеральная средняя или математическое ожидание µ Средняя арифметическая (2.1) (2.2) Генеральная дисперсия σ² (математическое ожидание µ известно) Выборочная дисперсия S² (2.3) (2.4) Генеральная дисперсия σ² (2.5) или (2.7) (2.6) или (2.8) Исправленная выборочная дисперсия (2.9) Генеральное среднее квадратичное отклонение σ Выборочное среднее квадратичное отклонение S (2.10) Начальные моменты k -го порядка (2.11) (2.12) Центральные моменты k -го порядка (2.13) (2.14)

Очевидно, что средняя арифметическая равна выборочному первому начальному моменту , а выборочная дисперсия – выборочному второму центральному моменту .

Связь между центральными и начальными моментами задается формулами:

μ ₂^* = ν ₂^* – (ν ₁^*)²

μ ₃^* = ν ₃^* – 3 ν ₂^* ν ₁^*– 2(ν ₁^*)³

μ ₄^* = ν ₄^* – 4 ν ₃^* ν ₁^*+ 6 ν ₂^* ν ₁^*– 3(ν ₁^*)⁴

Средняя арифметическая , вычисленная по n независимым наблюдениям над случайной величиной X, является состоятельной и несмещенной оценкой математическо­го ожидания μ = MX: . Если случайная величина X распределена нормально с параметрами N (μ, σ), то оценка математического ожидания имеет минимальную дисперсию , т.е. является эффективной оценкой.

Оценка выборочной дисперсии является смещенной. Если математическое ожидание неизвестно, то несмещенной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия (2.9) (дробь называют поправкой Бесселя).

Таблица 2.2.