Задачи для самостоятельной работы по теме 9

9.1. На изготовление каждого из 7 электродвигателей затрачено соответственно: 41,9; 44,2; 42,3; 43,1; 42,8; 43,4; 42,0 мин. Требуется определить: а) несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, предполагая, что время изготовления электродвигателя имеет нормальное распределение; б) коэффициенты асимметрии , эксцесса и вариации .

9.2. В таблице приведены результаты анализа заработной платы рабочих механического цеха за определенное время.

Заработная плата (т. руб.)	111-131	131-151	151-171	171-191	191-211
Число рабочих

Вычислить:

а) среднюю арифметическую () и среднее квадратическое отклонение (S);

б) центральные моменты третьего () и четвертого () порядков;

в) коэффициенты асимметрии () и эксцесса ();

г) коэффициент вариации (), моду () и медиану ().

9.3. На раскрой каждого из 8 костюмов на фабрике затрачено соответственно 60, 55, 50, 52, 45, 49, 58 и 46 мин. Необходимо определить оценки математического ожидания, дисперсии (смещенные и несмещенные), медианы и коэффициенты вариации .

9.4. На чемпионате мира по футболу в каждой из шести групп предварительного турнира было забито соответственно: 16, 18, 20, 14, 15, 19 мячей. Требуется определить следующие выборочные характеристики: , S², S, , Me^*, V_S.

9.5. Темп роста курса акций 50 фирм по сравнению с предыдущим месяцем составил (%):

	103,1						114,8	109,5	103,1
	97,1	95,2	91,7		104,5	92,8	95,8	104,9	77,5
93,1	94,9	99,5	99,7			122,5
		87,2	80,5	84,1		85,1	90,1	95,1	90,1
	100,3		105,1	106,5	110,6	116,1	94,5	98,1	101,9

Построить интервальный вариационный ряд, рассчитать теоретические частоты и проверить гипотезу соответствия данных нормальному зако­ну распределения.

9.6. Даны следующие числа бракованных изделий в 50 выборках по 20 изделий, обработанных на автоматическом станке:

Построить вариационный ряд, рассчитать теоретические частоты и про­верить. гипотезу о биномиальном законе распределения.

9.7. Даны результаты регистрации числа неправильных соедине­ний в минуту на АТС в течение часа:

Построить вариационный ряд, рассчитать теоретические частоты и про­верить гипотезу о законе распределения Пуассона.

9.8. Пусть - результаты n независимых наблюдений над случайной величиной X, имеющей нормальный закон распределения . Найти методом наибольшего правдоподо­бия оценки неизвестных параметров m и s.

9.9. В результате n независимых наблюдений над случайной величиной X получены величины . Найти оценку наи­большего правдоподобия неизвестного параметра a в предположении, что случайная величина X имеет показательный закон распределения с функцией плотности .

9.10. Вывести закон распределения средней арифметической , если есть случайная выборка из нормальной генеральной совокупности X с параметрами m и s.

9.11. На контрольных испытаниях n=20 электроламп найдено, что средний срок службы ламп равен ч. Определить с надеж­ностью границы доверительного интервала для генераль­ной средней в предположении, что срок службы ламп распределен по нормальному закону с 18ч.

9.12. Произведено 30 измерений диаметров поршневых колец. По результатам измерений найдено 96 мм. Предположив, что ошибки измерения распределены по нормальному закону распределения с 0,5 мм, найти вероятность того, что неизвестный параметр находиться внутри доверительного интервала со случайными границами .

9.13. Найти минимальный объем выборки, при котором с надеж­ностью точность оценки генеральной средней по выборочной средней будет равна 0,55. Известно, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности с 2,1.

9.14. Определить минимальный объем испытаний, который нужно провести, чтобы с надежностью точность оценки генеральной средней времени обработки зубчатого колеса была равна 0,8 с. Предполагают, что время обработки есть нормальная случайная вели­чина с 4,8.

9.15. Высоту горы измеряют прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены по нормально­му закону со средним квадратическим отклонением 5 м. Сколь­ко нужно сделать независимых измерений, чтобы высоту горы опреде­лить с ошибкой не более 4 м при доверительной вероятности ?

9.16. Средний вес зерна пшеницы 1 г. получен по результа­там обследования 40 зерен. Принято, что вес зерен распределен по нормальному закону с 0,04 г. Найти вероятность того, что средний вес отобранных зерен будет отличаться от генеральной сред­ней не более чем на 0,0015 г.

9.17. Годовой объём привлечённых депозитов 10 коммерческих банков представлен в таблице:

Банки
Объём деп. (млн.руб.)	4.6	4,4	4,5	4,0	4,3	4,2	5,2	5,0	5,1	4,7

В предположении, что годовой привлечённых депозитов банков распределен по нормальному закону, определить доверительную вероятность того, что:

а) абсолютное значение ошибки в определении генеральной средней составит 2% от ;

б) абсолютное значение ошибки определения среднего квадратического отклонения будет меньше 20% от S.

9.18. По результатам 14 измерений средняя высота сальниковой камеры равна 88 мм, а 1,6 мм². В предположении о нор­мальном распределении определить вероятность того, что параметры генеральной совокупности и попадут в соответствующие интервалы и .

9.19. На основании 11 измерений температуры одним при­бором определена выборочная средняя 253°С и S = 7°С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная величина, определить:

а) вероятность того, что абсолютная величина ошибки в оценке истинной температуры не превысит =6°С;

б) с вероятностью границы доверительного интервала .

9.20. В таблице приведены данные о времени, затраченном на выполнение технологической операции 12 рабочими цеха.

Время выполнения технологических операций , (с)
Число рабочих

Определить доверительные интервалы для оценок неизвестных парамет­ров и нормальной генеральной совокупности с надежностью 0,98 и 0,8.

9.21. Из 300 пар обуви, поступивших в магазин, 186 оказались импортными. Предполагая, что вероятность появления импортной обуви подчинена биномиальному закону, определить с надежностью 0,975 доверительный интервал для оценки этой вероятности.

9.22. Из 250 проданных телефонных аппаратов 150 были кнопочными. В предположении о биномиальном законе распределения определить доверительную вероятность того, что доля кнопочных аппаратов среди проданных будет находится в интервале (0,5; 0,65).

9.23. На основании выборочных наблюдений над производитель­ностью труда 42 работниц было установлено, что средняя суточная выработка работницы составляет 608 м ткани в час, S = 15м/ч. Определить:

а) доверительную вероятность того, что генеральная средняя попадает в интервал ;

б) с надежностью 0,8 границы доверительного интервала для генеральной дисперсии в предположении, что производительность работниц имеет нормальное распределение.

9.24. Средняя урожайность пшеницы на 34 опытных участках 24,8 ц/га, а S =2 ц/га. Найти:

а) с надеж­ностью 0,975 границы доверительного интервала для оценки генераль­ной средней;

б) в предположении о нормальном распределении вероят­ность того, что среднее квадратическое отклонение генеральной со­вокупности находится в интервале .

9.25. С целью определения токсической дозы яда был проведен эксперимент на 34 мышах, 10 из которых погибли. Определить с надеж­ностью 0,98 граница доверительного интервала для вероятности того, что данная доза смертельна. Предполагают, что число смертельных ис­ходов в опыте подчинено биномиальному закону распределения.

9.26. При испытании 8 авиационных двигателей не наблюдалось ни одного отказа. Определить границы доверительного интервала для вероятности отказа с надежностью 0,7; 0,9, если число отказов подчинено биномиальному распределению.

9.27. В процессе испытания 4 приборов не было ни одного отказа. Определить с надежностью 0,95 границы доверительного интервала для вероятности отказа, если число отказов имеет биномиальное распределение.

9.28. При испытании зерна на всхожесть получено, что из 12 зерен первой партии взошло 6, а из 100 зерен второй партии взошло 50. Определить с надежностью 0,99 границы доверительных интервалов для вероятности прорастания одного зерна каждой партии, если число проросших зерен имеет биномиальное распределение.

9.29. Из 10 проконтролированных изделий - 5 первого сорта. Определить с надежностью 0,8 и 0,95 границы доверительного интер­вала для вероятности появления изделия первого сорта, если число изделий первого сорта имеет биномиальное распределение.

9.30. Из 526 работников фирмы взята случайная выборка из 25 работников. Средний заработок для этих работников равен 185 тыс. руб., а среднее квадратическое отклонение 19 тыс. руб. Требуется о доверительной вероятностью 0,95 определить:

а) среднюю месячную зарплату на фирме;

б) сумму затрат фирмы на заработную плату.

9.31. При проверке бухгалтерской отчетности ревизор устано­вил, что 30 счетов, произвольно выбранных из 600, имеют среднее дебитовое сальдо 106 тыс. руб. при среднем квадратическом отклоне­нии 23 тыс. руб. Определить при доверительной вероятности 0,98:

а) среднее сальдо всех счетов;

б) суммарное сальдо всех 800 счетов;

в) пункты а) и б) решить при доверительных вероятностях 0,9 и 0,99. Результаты сравнить.

9.32. Из 8000 человек, проживающих в городе, составлена выбор­ка из 200 человек, причем 60% опрошенных высказались в пользу определенной федеральной программы. Оценить с доверительной ве­роятностью 0,885 долю всех жителей города, поддерживающих эту программу.

9.33. В случайной выборке из 150 студентов университета, специализирующихся на управлении предприятиями, 50 человек оказались из семей бизнесменов. С доверительной вероятностью 0,92 тре­буется определить долю студентов, родители которых являются биз­несменами.

9.34. При проверке двух предприятий розничной торговли реви­зор установил, что в одном магазине для случайной выборки из 25 счетов среднее сальдо счета равно 90 тыс. руб. при средней квадратической ошибке средней, равной 4 тыс. руб., а в другом при выбор­ке из 17 счетов среднее сальдо счета равно 108 тыс. руб., а сред­няя квадратическая ошибка средней - 6 тыс. руб. Используя 95%-ные доверительные пределы требуется оценить разность средних сальдо счетов двух магазинов.

9.35. В двух фирмах случайным образом отобрано соответственно n₁ = 28 и n₂ =34 работников и получены средние значения зарплаты 110 тыс. руб. и 104 тыс. руб. при средних квадратических отклоне­ниях средних арифметических 2,8 тыс. руб. и 2,5 тыс. руб. Требуется с доверительной вероятностью 0,95 оценить разницу в средней зарпла­те на этих фирмах.

9.36. Для отрасли, включающей 400 предприятий, была составле­на выборка из 20 предприятий, причем в среднем на предприятии ра­ботают 37,5 человек при среднем квадратическом отклонении 8 чело­век. Требуется с доверительной вероятностью 0,95 определить:

а) среднее число работников на предприятии отрасли;

б) общее число работников в отрасли.

9.37. Из 1500 семей города взята выборка объемом 300 семей и выяснено, что 10% семей намерены в предстоящем году приобрести автомобиль. Требуется с доверительной вероятностью 0,91 определить:

а) долю семей в городе, которые предполагают купить автомо­биль;

б) число автомобилей, которые могут быть приобретены в городе.

9.38. Из 240 работников управления статистики случайным обра­зом отобрано 18 человек, средняя зарплата которых составила 216 тыс. руб., а среднее квадратическое отклонение 18 тыс. руб. Требу­ется с доверительной вероятностью 0,95 определить:

а) среднюю зарплату в управлении;

б) суммарные затраты управления на зарплату в месяц.

9.39. Из 45 тысяч жителей города составлена выборка из 250 че­ловек, причем 32% опрошенных поддерживают кандидата партии на пост губернатора области. Требуется с надежностью 0,92 оценить долю и число жителей города, поддерживающих кандидата партии.

9.40. Во время Дня донора кровь сдало 300 работников предприя­тия, при этом по данным 20 работников, попавших в выборку, было выявлено, что в среднем каждый из них сдал 215 мл крови при среднем квадратическом отклонении 11 мл. Требуется с доверительной вероятностью 0,99 определить интервальную оценку:

а) генеральной средней (среднего объёма крови, сданного одним донором);

б) общего объема сданной на предприятии крови.