А.Н. Колмогорова

Пусть объект исследования может находиться в некоторых состояниях, число которых конечно (равно n). Номера состояний 0,1,2,…n. Из i-го состояния в j- е объект переходит с постоянной интенсивностью λ_i _j, обратно – с постоянной интенсивностью μ_ji.

Применение дифференциальных уравнений, для определения вероятностей состояний объекта, рассмотрим на примере объекта, изображенного на рисунке 3.4

а)

б) Граф состояний

Рис. 3.4

Число состояний три. Состояние S₀ – два элемента (1 и 2) – работоспособны. S₁ – один из элементов (1 или 2) – в отказовом состоянии, S₂ – оба элемента в отказовом состоянии.

По виду графа состояния можно составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова по следующему правилу.

Для каждого из возможных состояний объекта записывается уравнение, в левой части которого dP_i/dt, а справа – столько слагаемых, сколько стрелок графа соприкасается с данным состоянием. Если стрелка направлена в данное состояние, то перед слагаемым ставиться плюс, если стрелка направлена из данного состояния - минус. Каждое из слагаемых будет равно произведению интенсивности перехода из данного состояния (либо в данное состояние) на вероятность состояния из которого выходит стрелка

Можно упростить уравнение, если учесть, что рассматриваемый процесс – процесс марковский стационарный, т.е. можно принять, что dP_i(t)/dt = 0

Четвертое уравнение при трех неизвестных необходимо, т.к. первые три уравнения сводятся к двум. Решение системы уравнений даст:

Результаты решения системы можно получить непосредственно по виду графа состояний, если пользоваться следующим правилом: вероятность нулевого состояния определяется выражением:

где числитель правой части – всегда единица; знаменатель - сумма, состоящая из единицы и дробей, числители которых – произведения интенсивностей на верхних стрелках, знаменатели – произведения интенсивностей на нижних стрелках (произведения формируются с последовательным увеличением числа множителей от одного до n в соответствии с переходами ).

Вероятность состояния равна вероятности состояния , умноженной на коэффициент равный второму слагаемому в знаменателе для , т.е.

Вероятность состояния равна вероятности состояния умноженной на коэффициент, равный третьему слагаемому в знаменателе для , т.е.

Вероятность n- го состояния равна вероятности состоянии , умноженной на коэффициент равный последнему (n -му), слагаемому в знаменателе для , т.е.

Пример: Определить вероятность состояний объекта, схема которого и граф состояний изображены на рис 3.4, если интенсивности отказов λ₀ элементов 1 и 2 равны 0,02, а интенсивности восстановления