Задания для подготовки к практическому занятию. Прочитайте предложенные рассуждения и примеры

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а ₁, а _2, а ₃,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена. Например, если , то первые члены этой последовательности:

Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:

- Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4,5,… неограниченно возрастает или стремится к плюс бесконечности: n ®+¥. Поскольку n – натуральные числа и не могут быть отрицательными, знак «+» обычно опускают, подразумевая его «по умолчанию», и пишут n ®¥.

- Последовательность : стремится к 0 при n ®¥. Действительно, при очень больших значениях n значения становятся очень

маленькими, так что, хотя члены этой последовательности не становятся равны 0, но отграничить их от 0 невозможно: начиная с некоторого номера все члены этой последовательности оказываются ближе к 0, чем любое заранее выбранное число e. Это легко понять, например если изобразить члены последовательности точками на числовой прямой.

Пишут: (предел при n ®¥ равен 0) или иногда .

- Сходным образом и т.п. Вообще, если числитель дроби постоянен, а знаменатель неограниченно взрастает, то вся дробь стремится к 0.

При вычислении пределов последовательностей пользуются простыми их свойствами:

- предел суммы равен сумме пределов (если последние существуют и конечны);

- предел произведения равен произведению пределов (если последние существуют и конечны);

- предел отношения равен отношению пределов (если последние существуют и конечны и предел знаменателя не равен 0).

Примеры.

1. Вычислить .

Решение: При n®¥ и числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Говорят, что имеет место неопределенность вида .

Из трех слагаемых числителя быстрее всего возрастает слагаемое старшей степени, т.е. 3n². Вынесем за скобки n^2:

Аналогичным образом преобразуем знаменатель:

.

В целом получаем:

Заметим, что слагаемые при n®¥ стремятся к 0 и, таким образом, после сокращения дроби на n², имеем:

.

2. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся за скобки старшую степень n в числителе и знаменателе:

.

3. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь:

4. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся старшую степень из каждого множителя: