Задания для подготовки к практическому занятию. Прочитайте §6 лекций и предложенные примеры

Прочитайте §6 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Примеры.

Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(-2;5)

1. Написать уравнение прямой (АВ) и найти точки пересечения этой прямой с осями координат

Решение: Составим уравнение прямой с начальной точкой А(1;0) и направляющим вектором :

(АВ): .

Приведем уравнение к общему виду:

(АВ): x -2 y -1=0

Проверка:

точка А принадлежит прямой (АВ), т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению: 1-2×0-1=0 – верно. точка В принадлежит прямой (АВ), т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению: 3-2×1-1=0 – верно.

Найдем точку Е пересечения прямой (АВ) с осью О х. Имеем: , то есть y_E =0. Поскольку также , координаты искомой точки должны удовлетворять уравнению прямой (АВ), то есть х_Е -2 y_E -1=0. Подставляя y_E =0, получаем x_E =1. Таким образом, .

Аналогично находим .

2. Написать уравнение прямой l₁, проходящей через точку C параллельно прямой (АВ).

Решение: Уравнения параллельных прямых отличаются только свободным членом, то есть уравнение прямой будет иметь вид

l₁: x-2y+c= 0,

где с – некоторое число, которое мы можем найти из второго условия:

, следовательно, координаты точки С должны удовлетворять уравнению прямой l ₁:

-2-2×5+ с =0, откуда получаем с =12.

Таким образом, окончательно имеем искомое уравнение

l₁: x-2y+12= 0.

3. Написать уравнение прямой l₂, проходящей через точку C перпендикулярно прямой (АВ).

Решение: Для того, чтобы написать уравнение прямой, перпендикулярной данной, достаточно поменять местами коэффициенты при х и у, изменив у одного из них знак на противоположный:

.

Коэффициент с найдем из условия , откуда с =-1.

Таким образом, окончательно имеем искомое уравнение:

l₂: 2x+y-1= 0.

4. Найти проекцию Р точки С на прямую (АВ)

Решение: Проекция точки С на прямую (АВ)- это основание перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую (АВ), то есть точка пересечения прямых (АВ) и l ₂: . Поскольку искомая точка принадлежит обеим прямым, следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнениям этих прямых. Следовательно, требуется решить систему уравнений

Решением этой системы является пара чисел x =0,6; y =-0,2. Таким образом, искомая точка Р (0,6; -0,2).

5. Написать уравнение прямой l₃, проходящей через точку С под углом 45^о к положительному направлению оси Ох и найти угол между прямыми (АВ) и l₃

Решение: Используем уравнение прямой, проходящей через точку С(-2;5) с угловым коэффициентом k=tg45^o=1:

l₃: y-5=1×(x-(-2)), или

l₃: х- y+7= 0.

Далее, угол между прямыми равен острому углу между векторами, перпендикулярными этим прямым (или смежному если найденный угол тупой). Одним из векторов, перпендикулярных прямой, является вектор с координатами, равными коэффициентам при неизвестных в уравнении этой прямой.

Таким образом, имеем два вектора: и . Найдем косинус угла между векторами при помощи скалярного произведения:

.

Полученное число положительно, следовательно, угол острый и окончательно имеем

.