2015-01-30
383
Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуляминору.
На этой теореме базируется еще один метод нахождения ранга матрицы - метод окаймления миноров. Суть этого метода заключается в нахождении миноров, начиная с низших порядков и двигаясь к более высоким. Если минор 
-го порядка не равен нулю, а все миноры 
-го равны нулю, то ранг матрицы будет равен .
Пример
Задание. Найти ранг матрицы 
, используя метод окаймления миноров.
Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы 
. Рассмотрим, например, минор 
. расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор 
; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор 
окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор 
, то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор 
. Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:
|
|
|
так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор
преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:
И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы равен двум: 
Ответ.
