Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба

Функция у = f(x) называется выпуклой на (а, в), если для любых точек

х₁ и х₂, принадлежащих интервалу (а, в), и любого a Î (0, 1) выполняется неравенство: .

На рисунке изображен график выпуклой на интервале (а, в) функции.

Функция у = f(x) называется вогнутой на (а, в), если для любых точек

х₁ и х₂ Î (а, в) и любого a Î (0, 1) выполняется неравенство:

Точка х₀ называется точкой перегиба, если она отделяет интервал, на котором функция выпукла, от интервала, на котором функция вогнута.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции:

если вторая производная на интервале (а, в), то функция у = f(x) - выпукла (вогнута) на (а, в).

Достаточное условие для точки перегиба:

если в точке х₀ вторая производная или не существует и при переходе через точку х₀ изменяет свой знак, то точка х₀ - точка перегиба.

Например, определить интервалы выпуклости и вогнутости точки перегиба функции .

Область определения функции: Д=(-¥,+¥). Находим вторую производную .

Область определения второй производной: Д¢ = (-¥, +¥). Приравниваем вторую производную к нулю: и находим две точки: х₁ = -1,

х₂ = 1, которые могут быть точками перегиба. Эти две точки делят область определения на интервалы: (-¥, -1), (-1, 1), (1, +¥), на которых вторая производная сохраняет знак. Дальнейшее исследование удобно оформить в виде таблицы:

х (-¥, -1) -1 (-1, 1) (1, +¥)

f¢¢(x) + 0 - 0 +

f(x)

Точка перегиба Точка перегиба

На интервалах (-¥, -1) и (1, +¥) f¢¢(x) > 0, следовательно, на этих интервалах функция - вогнутая, на интервале (-1, 1) f¢¢(x) < 0, следовательно, на этом интервале функция - выпуклая. Точки х = - 1 и х = 1 - точки перегиба.

Асимптоты

Пусть точка А, перемещаясь по графику функции устремляется в бесконечность, если при этом расстояние между точкой и некоторой прямой стремятся к нулю, то эта прямая называется асимптотой.

Вертикальная асимптота.