Методы с использованием производных

Целесообразно предположить, что эффективность поисковых процедур существенно повысится, если в дополнение к условию непрерывности ввести требование дифференцируемости целевой функции. Необходимое условие существования оптимума целевой функции в точке x*

W'(x*) = dW/dx f _x=x* = 0.

В том случае, если целевая функция содержит члены, включающие x в третьей и более высоких степенях, то получение аналитического решения уравнения W'(x) затруднительно. В этих случаях целесообразно использовать численные методы нахождения корней нелинейных уравнений:

o метод хорд;

o метод касательных;

o метод средней точки.

Метод хорд

Сущность метода . Ориентирован на нахождение корня уравнения W'(x) в интервале [a,b], в котором имеются две точки N и P, в которых знаки производных различны. Алгоритм метода хорд позволяет аппроксимировать функцию W'(x) "хордой" и найти точку, в которой секущая графика W'(x) пересекает ось абсцисс.

Рисунок 2.5 - Схема метода хорд

Шаг 1. Следующее приближение к стационарной точке x* определяется по

формуле

R = P - .

Шаг 2. Вычислить W'(R).

Шаг 3. Если | W'(R)| < , то закончить поиск. В противном случае необходимо выбрать одну из точек P или N, чтобы знаки производных в этой точке и точке R были различны. Вернуться к шагу 1.

Как видно из алгоритма, метод хорд реализован на исследовании как знака производной, так и ее значении. Поэтому он более эффективен, чем метод средней точки.