Вероятность суммы двух несовместных событий

В общем случае, суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Например, событие А+В+С состоит в появлении одного из следующих событий: 1) А или В, или С; 2) (А и В) или С; 3) (А и С) или В; 4) А или (В и С); 5) А и В и С.

Суммой А+В двух несовместных событий А и В называют событие С, состоящее в появлении или события А, или события В.

Например, если из орудия произведены два выстрела с временным интервалом. Событие А- попадание при первом выстреле, событие В - попадание при втором выстреле. Попадание при обоих выстрелах исключается, так как цель уничтожается при одном попадании.

Суммой нескольких попарно несовместных событий A₁, A₂, …, A_n называют событие, состоящее в появлении одного их этих событий, безразлично какого.

Пусть события А и В несовместны, причем вероятности этих событий известны. Для таких событий справедлива следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (1.19)

Доказательство. Обозначим: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m_А – число исходов, благоприятствующих событию А; m_В - число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих появлению либо события А, либо события В, равно m_А+ m_В. Следовательно

Р(А+В) =(m_А+ m_В)/n = m_А/n + m_В/n = Р(А) + Р(В).

Пример 1.45. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0, 45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. События А – {стрелок попал в первую область}; В – {стрелок попал во вторую область}. Они несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую область). Согласно теореме, искомая вероятность равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,45+0,35 = 0,80.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А₁+А₂+ …+А_n) = Р(А₁) + Р(A₂)+ … + P(A_n). (1.20)

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Так как эти события попарно несовместны, то появление одного из трех событий равносильно наступлению одного из двух событий: А+В и С. Поэтому в силу рассмотренной теоремы

Р(А+В+С)=Р[(А+В)+С]=Р(А+В)+ Р(С)=Р(А)+ Р(В)+ P(C) (1.20-а)