Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции при :

А также говорят, функция называется непрерывной в точке , если она в этой точке определена, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

Существует теорема о непрерывности функции в точке. Функция y= f(x) непрерывна в точке x₀, тогда и только тогда, когда функция имеет конечные пределы в точке x₀ и предел функции в точке x₀ равен значению функции в этой точке.

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1. область непрерывности элементарной функции совпадает с её областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения

2. элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках

3. элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х₀называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е и .

При этом:

если А₁=А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва (рис.6)

если , то точка х₀называется точкой конечного разрыва (рис.7).

Величину называют скачком функции

Рис. 6. График функции с устранимым разрывом

Рис. 7. График функции с конечным разрывом

Точка х₀ называется точкой разрыва 2-го рода, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен ∞ (рис.8).

Рис. 8. График функции с точкой разрыва 2-го рода