Изучение броуновское движения. Определение постоянной Больцмана

Взвешенные в жидкости, очень мелкие твердые частицы находятся в состоянии непрестанного беспорядочного движения, называемого броуновским движением. Причина его заключается в том, что при достаточно малых размерах частиц импульсы, сообщаемые частице ударяющимися о нее с разных сторон молекулами, оказываются некомпенсированными. О частицу заметных размеров ударяется одновременно большое число молекул, так что суммарный результат ударов достаточно хорошо усредняется. При малых размерах частицы начинают проявляться отклонения скоростей отдельных молекул и числа ударяющихся молекул от средних значений.

Если скорость или число молекул, ударяющихся о частицу с одной стороны, окажется иной, чем для молекул, ударяющихся с другой стороны, то результирующий импульс, сообщаемый частице, будет отличен от нуля, и частица начнет двигаться в соответствующем направлении. В следующий результирующий импульс имеет иное направление. Следовательно, частица будет все время перемещаться беспорядочным образом.

Вследствие неполной компенсации импульсов от ударов молекул на броуновскую частицу действует некоторая результирующая сила F, под действием которой частица и движется. Кроме этой силы на частицу действует сила трения, вызванная вязкостью среды и направленная против силы F.

Если предположить, что частицы имеют форму сферы, то есть что сила f определяется формулой Стокса f= 6 , то уравнение движения частицы запишется в виде:

m = (1)

Здесь m – масса частицы, - ее радиус, - радиус-вектор относительно произвольной системы координат, - скорость частицы.

Рассмотрим проекцию радиус-вектора на одну из координатных осей, например на ось х. Для этой составляющей уравнение движения перепишется в виде:

(2)

Найдем смещение х броуновской частицы, которое она получит под действием ударов молекулы. Поскольку смещения с равной вероятностью могут иметь и положительный, и отрицательный знак, то . Но не будет равным нулю значение . Преобразуем поэтому уравнение (2) так, чтобы в него входила величина . Для этого обе части уравнения умножим на х

(3)

Используем очередные тождества

Подставив эти выражения в (3), получим:

(4)

Это равенство справедливо для любой частицы и поэтому оно справедливо также и для средних значений, входящих в него величин, если усреднение вести по достаточно большому числу частиц. Поэтому можно написать

где - среднее значение квадрата перемещения частицы;

- среднее значение квадрата ее скорости по оси х;

=0, так как для большого числа частиц и одинаково часто принимают как положительные, так и отрицательные значения.

Из хаотичности движения следует, что средние значения квадратов составляющих скоростей по всем трем координатным осям равны друг другу. Из того, что

следует, что

(5)

Можно записать, что средняя энергия броуновской частицы . Достаточно малые частицы вовлекаются в совершаемое молекулами тепловое движение. Обмениваясь энергией с молекулами жидкости, они находятся в тепловом равновесии со средой, в которой они движутся, то есть средняя кинетическая энергия броуновской частицы равна средней кинетической энергии молекул жидкости и, следовательно,

(6)

То, что средняя кинетическая энергия броуновской частицы равна 3/2кТ имеет принципиальное значение. Выражение для энергии одинаково независимо от того рассматриваются ли отдельные молекулы или броуновские частицы, содержащие миллиарды молекул.

Броуновскую частицу можно рассматривать как гигантскую молекулу. Вернемся к уравнению движения, которое с учетом (6) запишем в виде

Это уравнение легко интегрируется. Обозначив , получаем и после разделения переменных

Интегрируя левую часть этого уравнения в пределах от 0 до z, и правую от 0 до t, получаем

или

отсюда

Величина в обычных условиях опыта ничтожно мала. Действительно, размеры броуновских частиц не превышают см, вязкость воды приблизительно пуаз, плотность вещества порядка единицы, следовательно масса г.

Показатель степени при таков, что величиной можно пренебречь.

Следовательно, если отрезок времени между последовательными наблюдениями за частицей превышают с, что всегда имеет место, то

(7)

Для конечных промежутков времени и соответствующих перемещениях можно записать

и (8)

то есть среднее значение квадрата перемещения броуновской частицы за промежуток времени вдоль оси х, или любой другой оси, пропорционально этому промежутку времени. Формула (8) дает возможность определить постоянную Больцмана и число Авогадро. Одной из задач работы является проверка соотношения (8).

Экспериментальная установка.

Рис. 1

Броуновское движение хорошо наблюдать на почти сферических частицах гуммигута, взвешенных в воде. Размер таких частиц очень мал (порядка 10^{-5 см) и поэтому их удобнее наблюдать в рассеянном свете. Для этого, свет от источника направляют в препарат с помощью конденсора темного поля. На рисунке 1 показан ход лучей в параболоиде конденсора. Параллельный пучок лучей падает на плоско-выпуклое стеклянное тело Р, боковая поверхность которого является параболоидом вращения. Центральные лучи малой апертуры задерживаются заслонкой В, а боковые лучи с большей апертурой отражаются от боковой поверхности параболоида, проходят через иммерсионный слой}F, предметное стекло, препарат и покровное стекло. На верхней поверхности последнего лучи претерпевают полное внутреннее отражение, благодаря чему выходят наружу через ту же нижнюю грань конденсора, через которую вошли.

Рис. 2

Если на своем пути в препарате лучи встретят частицу, размеры которой соизмеримы с длиной волны, то они рассеиваются на ней, благодаря чему часть их энергии попадает в микроскоп и образует в нем дифракционное изображение в виде светящейся точки или системы светлых колец. Форма этого изображения, вообще говоря, не будет отображать в точности форму самой частицы. Однако если отказаться от желания получить хотя бы приблизительно сходное изображение предмета и стремиться только обнаружить его существование и положение, то описанный прием позволит установить наличие частиц и их положение.

Для зарисовки пути частиц в данной работе используется рисовальный аппарат, который укрепляется на тубусе микроскопа. Схема его дана на рис.2. Над окуляром микроскопа помещен стеклянный кубик abcd, диагональное сечение которого ac посеребрено со стороны, обращенной к глазу. В центре сечения оставлен непосеребренный зрачок. Через него лучи из микроскопа попадают в глаз. Параллельно с ним в глаз попадает изображение листа бумаги А после отражения от зеркала В и посеребренного сечения ac. Зрачок кубика значительно суживает поле зрения микроскопа. Этот недостаток частично устраняется тем, что кубик может перемещаться над окуляром с помощью специальных винтов. Изменение яркости изображения бумаги производится поворотом колпака кубика, имеющего Набоковой поверхности шесть окошек, пять из которых снабжены дымчатыми стеклами различной степени затемнения. Яркость изображения объекта регулируется с помощью таких фильтров, вставленных в шайбу, которая располагается между кубиком и тубусом микроскопа. Кубик с затемняющими приспособлениями может быть отведен в сторону. В работе проверяется выполнение закона Эйнштейна.

Порядок выполнения работы.

В луночку предметного стекла пипеткой наносят 3-4 капли суспензии гуммигута. Препарат накрывают сверху чистым покровным стеклом. При этом нужно следить, чтобы под покровным стеклом не оставались пузырьки воздуха. Избыток жидкости, выступающий из-под стекла, удаляют фильтровальной бумагой. Свет осветителя с помощью зеркала направляется так, чтобы поле зрения было центрировано и освещено равномерно и наиболее интенсивно. После этого на верхнюю линзу конденсора наносится капля иммерсионной жидкости. На предметном столике закрепляют препарат. Конденсор поднимается вверх до тех пор, пока капля иммерсионной жидкости не коснется предметного стекла и расползется в тонкий слой. Необходимо следить за тем, чтобы предметное стекло лежало на столике, а не на конденсоре, так как последний легко повредить.

Фокусировку микроскопа производят при отведенном кубике рисовального аппарата. При этом следует соблюдать осторожность, чтобы не раздавить покровное стекло. Под зеркало рисовального аппарата помещают лист бумаги и добиваются того, чтобы через рисовальный аппарат были хорошо видны одновременно частицы гуммигута и острие карандаша на бумаге. Выбрав хорошо заметную движущуюся частицу, совмещаем кончик карандаша с ее изображением и включаем секундомер. Все время следя глазом за частицей, соедините карандашом положение частицы в момент включения секундомера с ее положениями через 5 секунд, через 10 секунд и т.д. Так как требуется установить статистическую закономерность, то результат получается тем точнее, чем больше будет снято точек. Опыт следует повторить для 2-3 частиц. После окончания каждого опыта следует точки пронумеровать.

Обработка результатов измерений.

В опытах необходимо получить не менее 20 последовательных положений броуновской частицы через каждые 5 секунд. Расстояние между двумя последовательными положениями изображения частицы представляют собой увеличенные изображения результирующего перемещения частицы за промежуток времени, равный 5 секундам.

Для проверки закона Эйнштейна-Смолуховского необходимо определить средние квадраты перемещения частицы за 5, 10 или 15 секунд, то есть средний квадрат расстояний между двумя последовательными положениями изображений частицы через соответствующие промежутки времени. Затем строят график, на оси абсцисс которого откладывают промежутки времени n (n=1,2,3; =5 c), а на оси ординат значения для соответствующих промежутков времени в удобном масштабе. Если нанесенные таким образом точки можно соединить прямой линией, проходящей через начало координат, то эксперимент полностью подтверждает теорию (см. формулу 8).

Для определения последовательных перемещений броуновской частицы поступают следующим образом: сначала концы раздвижного циркуля-измерителя совмещают с отмеченными на бумаге нужными точками, а затем циркуль-измеритель переносится на миллиметровую линейку, по которой и определяется перемещение с точностью 0,5 мм. Результаты подобных измерений перемещений частицы заносятся в таблицу.