Порядка n ?

Минором М _{i j} элемента а_{i j} квадратной матрицы А порядка n называется определитель порядка (n – 1), полученный из элементов матрицы А после вычеркивания из нее строки с номером i и столбца с номером j, на пересечении которых стоит в матрице А элемент а_{i j}.

Что называется алгебраическим дополнением

Элемента матрицы порядка n?

Алгебраическим дополнением элемента а_{i j} порядка n называется минор этого элемента М _{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}:

A _{i j} = (-1) ^{i + j} М _{i j}.

Сформулировать теорему, которую используют при вычислении определителей любого порядка.

Теорема. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали.

Каковы рациональные способы вычисления

Определителей высших порядков?

Таких способов два.

Первый способ: получить в какой-либо строке (или столбце) все нули, кроме одного элемента и разложить определитель по этой строке или столбцу.

Второй способ: привести матрицу к треугольному виду и использовать последнее следствие.

Как получить нули в какой-либо строке (или

Cтолбце) матрицы? Как привести ее к треугольному виду?

Это можно сделать, пользуясь свойствами определителя:

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы. Под транспонированием матрицы понимают такое преобразование этой матрицы, при котором каждая ее строка делается столбцом с тем же самым номером.

Свойство 2. При перемене местами двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.

Свойство 3. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) умножить на отличное от нуля число, определитель умножится на это число.

Свойство 4. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующего столбца (строки) являются первые слагаемые, у другого – вторые. Остальные элементы у этих двух определителей те же, что и у данного.

Свойство 5. Определитель, имеющий нулевую строку (или столбец), равен нулю.

Свойство 6. Определитель, имеющий два одинаковых столбца (или строки), равен нулю.

Свойство 7. Определитель, у которого элементы двух строк (или столбцов) соответственно пропорциональны, равен нулю.

Свойство 8. Определительне изменится, если к элементам какого-либо его столбца (или строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на одно и то же число.