Решение задач. Пример 1.Вычислить определитель

Пример 1. Вычислить определитель .

Решение. = 2 × 5 – 4 × (-3) = 10 + 12 = 22.

Пример 2. Вычислить определитель разными способами

.

Решение. а) Вычислим по правилу треугольников:

= 2 × 4 × 6 + 0 × 5 × (-1) + 3 × 0 × 1 – 1 × 4 × (-1) –

- 0 × 3 × 6 – 0 × 5 × 2 = 48 + 4 = 52.

б) Вычислим, разложив по элементам первой строки:

= 2 × - 0 × + 1 × =

= 2 × 24 – 0 + 1 × 4 = 48 + 4 = 52.

в) Вычислим, разложив по элементам второго столбца:

= - 0 × + 4 - 0 × =

= 0 + 4 × 13 – 0 = 52.

Пример 3. Вычислить определитель 4-го порядка

D = .

Решение. Вынесем за знак определителя общий множитель элементов первого столбца равный 4. Постараемся получить в первом столбце нули, кроме одного, для чего умножим третью строку на (-2) и прибавим к первой, умножим третью строку на 2 и прибавим ко второй:

D = = 4 × =

= 4 ×

Вынесем за знак определителя общий множитель элементов второй строки равный 5 и вычислим определитель, расписав его по элементам первого столбца:

D = 4 × 5 × = 20 ×

Приведем последний определитель к треугольному виду. Умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй, умножим первую строку на 4 и прибавим к третьей:

D = 20 ×

Умножим вторую строку на -3 и прибавим к третьей:

D = 20 × = 20 × (-1) × (-9) × 10 = 1800.

Пример 4. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

.

Решение. Вычисляем определители 2-го порядка:

D = = -15 – 8 = -23 ¹ 0

D₁ = = -35 –80 = -115

D₂ = = 120 – 28 = 92

x = = = 5 y = = = -4.

Ответ. х = 5, у = -4.

Пример 5. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

.

Решение. Вычисляем определители третьего порядка:

D = = -25 ¹ 0 D₁ = = 25

D₂ = = 0 D₃ = = -25

Находим решение системы по правилу Крамера:

x = = -1, y = = 0, z = = 1.

Ответ. х = -1, y = 0, z = 1.