Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Такие события называют гипотезами. Априорные вероятности гипотез , а также условные вероятности события считаются известными.
Тогда верна формула
, (8)
называемая формулой полной вероятности.
Пусть в результате испытания событие все же происходит. Какова вероятность того, что вместе с ним произошло событие ? На этот вопрос отвечает формула Бейеса
, , (9)
которая определяет апостериорную вероятность гипотезы .
Пример 12. На складе имеется 12 единиц товара, полученных от поставщика №1, 20 единиц - от поставщика №2 и 18 единиц - от поставщика №3. Вся продукция находится в одинаковых упаковках. Вероятность того, что единица товара, полученная от поставщика №1 отличного качества, равна 0,9; от поставщика №2 - 0,6; от поставщика №3 - 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу единица товара окажется отличного качества.
Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что взятая наудачу единица товара окажется отличного качества. Возможны следующие предположения: - взятая единица товара получена от поставщика №1, - от поставщика №2, - от поставщика №3.
Так как всего на складе 50 единиц товара (12+20+18), то вероятность того, что взятая наудачу единица товара получена от поставщика №1, равна 12/50, от поставщика №2 - 20/50, от поставщика №3 - 18/50.
Из постановки задачи известна вероятность того, что единица товара окажется отличного качества при условии, что она получена от поставщика №1: , от поставщика №2 - от поставщика №3 -
Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности (8)
0,744.
Пример 13. Продукция, выпускаемая на предприятии партиями, попадает для проверки ее на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что партия продукции попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная партия будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым - 0,98. Годная партия при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту партию проверял первый контролер.
Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что годная партия продукции признана стандартной. Можно сделать два предположения:
- партию проверил первый контролер (гипотеза В1);
- партию проверил второй контролер (гипотеза В2).
Искомую вероятность того, что партию проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса:
По условию задачи имеем:
- (вероятность того, что партия попадет к первому контролеру);
- (вероятность того, что партия попадет ко второму контролеру);
- (вероятность того, что годная партия будет признана первым контролером стандартной);
- (вероятность того, что годная партия будет признана вторым контролером стандартной).
Искомая вероятность
0,59.