2015-01-07
1849
В общем виде определенный интеграл записывается так:
Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой 
.
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой 
.
Отрезок 
называется отрезком интегрирования.
Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.
Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:
Этапы решения определенного интеграла следующие:
1) Сначала находим первообразную функцию 
(неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа 
в определенном интеграле не добавляется. Обозначение 
является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись 
? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: 
.
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: 
.
4) Рассчитываем (без ошибок!) разность 
, то есть, находим число.
|
|
|
Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.
Например, интеграла 
не существует, поскольку отрезок интегрирования 
не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: 
. Такого интеграла тоже не существует, так как в точках 
, 
отрезка 
не существует тангенса.
Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, достаточно чтобы подынтегральная функция быланепрерывнойна отрезке интегрирования.
Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывнана отрезке интегрирования.
Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен несуществующий интеграл вроде , то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.
Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция.
