Определение динамической системы по Калману

Динамической системой называется математическая модель в совокупности взаимосвязанных элементов, удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. Заданы множество моментов времени Т, множество состояний X, множество мгновенных значений U, множество их допустимых значений Ω={ω; T→U}, множество мгновенных значений выходов Y и множество их допустимых значений Г = {n: Т*Х→Y}

Существует переходная функция состояний

Ф= {φ: T*T*X*Ω→X}

Значениями которой являются состояния системы в которых она оказывается в момент времени t, если в момент времени t₀ она была в состоянии х₀ и на нее воздействовал вход ω

x(t) = φ [ t; t₀; x(t₀); ω ] X

φ обладает следующими свойствами:

1) свойство направленности, то есть φ - определена для всех t t₀ и не обязательно определена для t < t₀

2) φ согласована со своими начальными значениями, т. е.

x(t₀) = [t₀, x(t₀), ω], t T, x X, ω Ω

3) для всех отрезков входных воздействий ω₁, ω₂… Ω таких, что ω₁=ω₂ для всех t₀ < t t₁ имеет место равенство

φ [t₁; t₀; x(t₀); ω₁] = φ [t₁; t₀; x(t₀); ω₂]

это свойство управляемости.

4) φ обладает полугрупповым свойствам:

φ [t₃; t₁; x(t₁); ω] = φ [t₃; t₂; φ [t₂; t₁; x(t₁); ω] ω]

5) задано выходное отображение

Г = {η: Т*Т→Y}, которое определяет выход системы

y(t) = η [ t, x(t) ]

Цель ее определение

Цель – (искомое решение проблемы) – есть субъективный образ (абстрактная модель) несуществующего но желаемого состояния среды, которое решало бы возникшую проблему.

В этом смысле «системе» есть средство достижения цели.

Пусть дана некоторая система, которая определена следующим образом:

Тогда цель для системы определяется следующей совокупностью:

1) целевой функцией (функцией выполнения) G;

а) целевая функция определяется следующим образом: . Целевая функция в общем случае является некоторым функционалом.

2) Т – функцией допустимости ;

3) Множество значений мер выполнения V;

4) Мерой выполнения может быть некоторая достижимая ошибка, ограничение на точность и так далее.

- цель;

5) Проблема решения:

.

Изоморфные и гомоморфные системы

Для того чтобы система была системой, определяемой состоянием, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде канонической модели. Каноническое представление приводит к системе адекватной исходной с точностью до изоморфизма.

Определение 1. Каноническое представление двух систем изоморфно, если взаимооднозначное преобразование одной из них в состояние другой может превратить одно представление в другое.

Пример:

Если осуществим замену , то системы будут изоморфны, т.е. их нельзя будет отличить.

Гомоморфизм – одностороннее преобразование.

Это преобразование, приложенное к более сложной системе, может свести
ее к форме изоморфной более простой системы.

Пример. Задана система Система

	a	b	c	d	e
i	b	a	b	c	a
j	a	b	c	b	c
k	a	b	b	e	d
e	b	c	a	e	e

	g	h
α	g	h
β	h	h

Преобразуем систему посредством однозначного лишь в одну сторону преобразования T

a	b	c	d	e	i	j	k	l
h	h	h	g	g	β	β	α	α

Преобразование Т однозначное, но не взаимно однозначное.

↓	h	h	h	g	g
β	h	h	h	h	h
β	h	h	h	h	h
α	h	h	h	g	g
α	h	h	h	g	g

С точностью до обозначений выделяется в система соответствующая системе . Можно записать: изоморфна . Таким образом система эквивалентна упрощенному образу системы .

Определение 2. Две системы гомоморфные, если они становятся

одинаковыми при упрощении одной из них.

Определение 3. Если две системы находятся в таком отношении + друг к другу, что некоторое однозначное лишь в одну сторону преобразование, приложенное к одной из них, дает новую систему, изоморфную другой, то эта новая система (более простоя) есть гомоморфный образ первой системы.