Вопрос 1. Консервативные силы. Консервативные системы

Консервативные силы. Консервативные системы. Связь консервативных сил с потенциальной энергией. Закон сохранения механической энергии.

Все силы (в макроскопической механике) принято разделять на консервативные и неконсервативные. Если силы взаимодействия зависят только от конфигурации материальных точек системы (от их координат) и работа этих сил при перемещении системы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурацией системы, то такие силы называются консервативными.

Диссипативными называются такие силы, полная работа которых при любых движениях в замкнутой системе всегда отрицательна.

Потенциальными называют силы, работа которых по замкнутому контуру равна нулю.

Консервативные и потенциальные силы – одно и то же.

Консервативной называется система, в которой действуют только консервативные силы.

Так как работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положения материальной точки, на которую они действуют, то их работа – это работа, совершаемая при изменении конфигурации тел, то есть изменение потенциальной энергии системы, взятое с обратным знаком. Примеры: сила упругости, сила тяжести, сила тяготения.

Закон сохранения механической – механическая энергия системы тел сохраняется неизменной, если суммарная работа всех внешних сил и сил трения в системе равна нулю.

(Выводится из законов Ньютона)

Какое-либо произвольное положение системы условно примем за нулевое. Работа, совершаемая конс. силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое, называется потенциальной энергией системы в первом положении. Потенциальная энергия при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы. Иными словами, потенциальная энергия системы U является функцией только ее координат.

Потенциальная энергия системы определена с точностью до константы. Пусть система першла из положения 1 в положение 2 по пути 12. Работу А12 можно выразить через потенциальные энергии U1 и U2. Пусть переход совершен через нулевое положение 0, по пути 102.

А12 = А102 = А10 + А02 = А10 + А20. По определению U1 = А10 + С б U2 = А20 + С

Таким образом А12 = U1 – U2, т.е. работа конс. сил равна убыли потенциальной энергии.

Та же работа может быть выражена через приращение кинетической энергии:

А12 = К2 – К1. Приравнивая получим:К1 + U1 = К2 + U2

Сумма кин. И пот энергий называется полной энергией Е. Е1 = Е2, или Е = К + U = const

В системе с одними только конс. силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить только превращения энергий, но полный запас измениться не может (закон сохр. энергии).

Вопрос 2.

Колебания. Число степеней свободы системы. Свободные колебания системы с одной степенью свободы. Уравнение собственных незатухающих колебаний. Его решение.

Колебания – повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия.

?Колебания называются периодическими, если значения физич. величин повторяются через равные промежутки времени.

Колебательный процесс может возникнуть за счёт внешней силы, которая вывела систему из равновесия и перестала действовать, а колебания происходят под действием только внутренних сил, без участия внешних. Такие колебания наз. собственными (колебания системы, предоставленной самой себе).

Числом степеней свободы системы называется количество независимых координат, при помощи которых можно полностью задать положение системы в пространстве.

Колебания с одной степенью свободы – это колебания при которых движения системы можно описать одним независимым параметром (координатой). Пример: колебания математического маятника, колебания физического маятника (твёрдое тело, подвешенное за точку и способное колебаться вокруг оси, не проходящей через ц. м.), колебания груза на пружинке.

Уравнение гармонических незатухающих колебаний: x’’ + ω₀²x=0

Решение уравнения гармонических незатухающих колебаний: x = X₀ sin (ωt+φ).

Уравнения для физического маятника: Je=–mgasina»–mgaa, приведённая длина физического маятника, равна длине математического маятника с тем же периодом – l=J₀+ma²/ma. T= , решение этого уравнения: a=a₀cos(wt+j), (a₀, j определяются начальными условиями, w – параметр системы).

Колебания, происходящие по закону синуса или косинуса наз. гармоническими.