Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел , если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции в точке

Производная функции, заданной параметрически

Предположим, что функциональная зависимость от не задана непосредственно , а через промежуточную величину — . Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной выполним следующие преобразования:

Задание. Найти вторую производную для функции заданной параметрически.

Решение. Вначале находим первую производную по формуле:

Производная функции по переменной равна:

производная по :

Тогда

Вторая производная равна

Ответ.