2015-01-13
722
Если независимая переменная 
и функция 
связаны уравнением вида 
, которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной .
Всякую явно заданную функцию 
можно записать в неявном виде 
. Обратно сделать не всегда возможно.
Несмотря на то, что уравнение не разрешимо относительно , оказывается возможным найти производную от по . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию как функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную 
.
Задание. Найти вторую производную 
неявной функции 
.
Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что является функцией переменной , поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:
Из полученного равенства выражаем :
Для нахождения второй производной продифференцируем равенство 
еще раз:
Подставив вместо найденное выше выражение, получаем:
После упрощения получаем:
Из полученного равенства выражаем вторую производную :
Ответ.
