Спектральная плотность

Нестационарным случайным процессом называют случайный процесс, статистические характеристики которого (хотя бы одна) изменяются во времени.

Рис. 1.21. Случайная функция X (t).

Автокорреляционная функция (АКФ) - мера связи любых двух ординат СП x(t_j) и x(t_l), отстоящих на абсциссу t = t_l - t_j. Для СП с неизменной АКФ (стационарного), АКФ не зависит от t и ее оценка по дискретным отсчетам

Значение при t = 0 равно дисперсии СП

K_xx(0) = D_x

Спектральное представление СП

Периодическую функцию f(x) можно разложить в ряд Фурье (тригонометрический ряд)

,

где a₀ - среднее значение f(t) за период; T - период функции f(t).

Коэффициенты ряда

; ;

.

Набор частот w_k называют спектром функции f(t). В данном случае спектр - дискретный. Приближенный метод разложения в ряд Фурье для непериодической функции состоит в применении предельного перехода при T ® ¥. Действительно, непериодическую функцию можно рассматривать как периодическую при неограниченно возрастающем периоде.

Подставив в формулу(1.200) выражение для c_k, получим

.

Перейдем к пределу, устремляя T к бесконечности и полагая . Частота Dw₁ есть частотный интервал между соседними абсциссами - гармониками, частоты которых равны и . При предельном переходе положим, что при T ® ¥ Dw₁ ® dw, а ® w, где w - текущая частота, изменяющаяся непрерывно. Сумма в уравнении (1.202) перейдет в интеграл, тогда

или

,(4)

где

.(5)

Формулы (4) и (5) являются основными формулами спектральной теории гармонического анализа.

Рис. 1.23. Спектр периодической функции

Функция f(t) в виде (1.203) имеет непрерывный спектр. Если ряд Фурье дает возможность представить периодическую функцию в виде суммы бесконечного числа синусоид с частотами, имеющими дискретные значения, то интеграл Фурье (1.204) представляет непериодическую функцию в виде суммы синусоид с непрерывной последовательностью частот. Спектр периодической функции можно изобразить графически (рис. 1.23). Каждому дискретному значению частоты (частоты w_k гармоник ряда Фурье) соответствует определенное значение коэффициента ряда c_k. Спектр, показанный на рис. 1.23, называют дискретным или линейчатым. Рассмотрим теперь спектр непериодической функции. В результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, вертикальные линии (см. рис. 1.23) все больше сближаются, и в пределе получаем непрерывную кривую S

Из (1.206) следует, что S(w) есть амплитуда для интервала частот (w, w+Dw). Значит, S(w) можно рассматривать как “плотность” амплитуд, приходящихся на интервал частот (w,w+Dw). Поэтому функцию S(w) называют спектральной плотностью S(w) > 0 при любом w.

Спектральная плотность и автокорреляционная функция связаны следующим образом:

;

.

Для обработки статистических данных применяют современное программное обеспечение, содержащееся в пакетах MS Excel, MATLAB/Toolboxes Statistika, SignalProcessing, STATISTIKA, STATGRAPHICKS, MATHСAD, NUMERI. По этим пакетам имеется литература на русском языке.