Однородные системы

Рассмотрим однородную систему .

Заметим, что однородная система всегда совместна, поскольку нуль-вектор Х= ее решение.

Для решения однородной системы уравнений применяется метод Гаусса. Метод Гаусса для решения систем уравнений состоит из прямого и обратного хода. Прямым ходом заданную систему приводят к эквивалентной ступенчатой системе.

Проиллюстрируем алгоритм метода на примере:

Прямой ход метода Гаусса. Приведем матрицы системы к ступенчатому виду:

Матрица приведена к ступенчатому виду, ее ранг равен 3.

Выпишем соответствующую систему уравнений:

Переменные , не связанные с угловыми элементами, называются свободными, переменные - зависимые переменные (несвободные, базисные). Зависимыми переменными всегда объявляются переменные, коэффициентами которых являются угловые элементы. Заметим, что при другом способе приведения матрицы к ступенчатому виду свободными переменными могут оказаться переменные с другими индексами. Однако число свободных переменных всегда равно n-r (r – ранг матрицы).

Обратный ход метода Гаусса заключается в том, что зависимые переменные выражаются через свободные из ступенчатой системы, начиная с последнего уравнения и «поднимаясь» вверх к первому. В результате получим

Полученное выражение называют общим решением системы в координатной форме.

Полученные выражения дают описание всего множества решений однородной системы. Давая свободным переменным произвольные значения, и вычисляя значения зависимых переменных, получаем некоторое частное решение системы.

Запишем общее решение в векторной форме. Придадим свободным переменным значения , получим и ; затем , получим и . Векторы линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений (ФСР).