2015-01-21
694
Определение 1. Функция 
называется непрерывной в точке 
, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, существует 
и этот предел равен значению функции в этой точке , т.е.
.
Пример. Проверим непрерывность функции 
в произвольной точке :
.
Приращением переменной величины будем называть разность между двумя ее различными значениями. Пусть в начальный момент времени переменная величина имела значение , а затем в процессе своего изменения приняла какое-то значение 
, разность 
называется приращением этой переменной величины и обозначается 
.
Приращение функции 
соответствует взятому приращению аргумента.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента 
соответствует бесконечно малое приращение функции 
.
Теорема 1. Если функции 
и 
непрерывны в точке , то их сумма 
, разность 
, произведение 
и частное 
также непрерывны в этой точке.
Теорема 2. Если промежуточный аргумент 
непрерывен в точке , а заданная функция 
непрерывна в точке 
, то сложная функция 
непрерывна в точке .
Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.
Если в точке нарушены условия непрерывности функции , то в этой точке функция терпит разрыв; сама такая точка называется точкой разрыва.
Определение. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называется производной этой функции
.
