Примеры задач на тему «Плоскость»

Пример 1. Составить уравнение плоскости , проходящей через заданную точку (2,1,-1) и параллельной плоскости .

Решение. Нормаль к плоскости : . Поскольку плоскости параллельны, то нормаль является и нормалью к искомой плоскости . Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (3), получим для плоскости уравнение:

Ответ:

Пример 2. Основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость , является точка . Найти уравнение плоскости .

Решение. Вектор является нормалью к плоскости . Точка М₀ принадлежит плоскости. Можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через заданную точку (3):

Ответ:

Пример 3. Построить плоскость , проходящую через точки и перпендикулярную плоскости : .

Следовательно, чтобы некоторая точка М (x, y, z) принадлежала плоскости , необходимо, чтобы три вектора были компланарны:

=0.

Осталось раскрыть определитель и привести полученное выражение к виду общего уравнения (1).

Пример 4. Плоскость задана общим уравнением:

.

Найти отклонение точки от заданной плоскости.

Решение. Приведем уравнение плоскости к нормальному виду.

,

.

Подставим в полученное нормальное уравнение координаты точки М*.

.

Ответ: .

Пример 5. Пересекает ли плоскость отрезок .

Решение. Чтобы отрезок АВ пересекал плоскость, отклонения и от плоскости должны иметь разные знаки:

.

Пример 6. Пересечение трех плоскостей в одной точке.

.

Система имеет единственное решение, следовательно, три плоскости имеют одну общую точку.

Пример 7. Нахождение биссектрис двугранного угла, образованного двумя заданными плоскостями.

Пусть и - отклонение некоторой точки от первой и второй плоскостей.

На одной из биссектральных плоскостей (отвечающей тому углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны по модулю и знаку, а на другой – равны по модулю и противоположны по знаку.

1)

- это уравнение первой биссектральной плоскости.

2)

- это уравнение второй биссектральной плоскости.

Пример 8. Определение местоположения двух данных точек и относительно двугранных углов, образованных данными плоскостями.

Пусть . Определить: в одном, в смежных или в вертикальных углах находятся точки и .

1) Находим и , и - это отклонения точек А и В от плоскостей и .

а). Если и лежат по одну сторону от и от , то они лежат в одном двугранном углу.

б). Если и лежат по одну сторону от и по разные от , то они лежат в смежных углах.

в). Если и лежат по разные стороны от и , то они лежат в вертикальных углах.

Линии в пространстве. Прямая в пространстве. 2

Канонические уравнения прямой в пространстве. 3

Параметрические уравнения прямой. 4

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. 4

Угол между двумя прямыми в пространстве. 5

Угол между прямой и плоскостью.. 5

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. 6

Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей. 6

Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия». 11

Линии в пространстве. Прямая в пространстве

В аналитической геометрии каждая линия рассматривается как пересечение двух поверхностей и соответственно определяется заданием двух уравнений.

Пусть F₁ (x, y, z)=0 и F ₂(x, y, z)=0 – уравнения двух поверхностей.

Система уравнений определяет линию, являющуюся их пересечением.

Следовательно, прямую можно задать системой двух уравнений плоскостей:

(1)

Это возможно только в том случае, когда плоскости не совпадают и не параллельны, т.е. когда нормали ₁= и ₂= не коллинеарны.

Система (1) – это общее уравнение прямой в пространстве.

Через каждую прямую проходит бесконечное множество плоскостей (пучок плоскостей).

Определение. Cовокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей с центром в L.

Умножим уравнения системы (1) соответственно на коэффициенты и , одновременно не равные нулю.

– уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

(Докажите самостоятельно аналогично доказательству для пучка прямых)

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку , называется связкой плоскостей с центром в точке M₀.