Прямая и плоскость в пространстве

Поставим следующую задачу. Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору (см. рис.3.14). В дальнейшем вектор, перпендикулярный к плоскости мы будем называть нормальным вектором плоскости. Найдем геометрическое место точек , принадлежащих плоскости. Для того, чтобы точка М принадлежала плоскости необходимо и достаточно, чтобы вектор был перпендикулярен вектору . Воспользуемся условием перпендикулярности векторов.

Напомним, что векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. . В координатной форме имеем

. (3.46)

Раскрывая скобки в уравнении (3.46) и вводя обозначение , мы получим общее уравнение плоскости:

. (3.47)

Если известны координаты трех точек , , , не лежащих на одной прямой, то, используя условие компланарности трех векторов, можно составить уравнение плоскости, проходящей через эти заданные точки:

(3.48)

Напомним, что в общем уравнении плоскости коэффициенты при переменных являются координатами нормального вектора: . Если заданы две плоскости и , то угол между ними равен углу между их нормальными векторами и .

Для нахождения угла между плоскостями воспользуемся формулой (2.5)

. (3.49)

Пример 3.7. Требуется найти угол между плоскостями и .

Нормальными векторами данных плоскостей являются следующие векторы и . Подставим координаты этих векторов в формулу (3.49):

Следовательно, .

Заметим, что в общем уравнении прямой на плоскости коэффициенты при переменных так же являются координатами вектора, перпендикулярного данной прямой (нормального вектора) и лежащего в той же плоскости xOy. Угол между двумя прямыми на плоскости и можно найти по формуле, полученной из формулы (2.5), если в ней третьи координаты векторов положить равными нулю:

. (3.50)

Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей:

. (3.51)

Уравнения (3.51) называются общими уравнениями прямой в пространстве. Поставим теперь другую задачу. Пусть требуется составить уравнения прямой в пространстве, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору (см. рис. 3.15). Вектор называется направляющим вектором прямой. Найдем геометрическое место точек , принадлежащих прямой. Для того, чтобы точка М принадлежала прямой необходимо и достаточно, чтобы векторы и лежали на параллельных прямых (такие векторы называются коллинеарными). Напомним, что у коллинеарных векторов координаты пропорциональны, т.е.

. (3.52)

Система уравнений (3.52) называется каноническими уравнениями прямой линии в пространстве. Канонические уравнения прямой можно использовать только в том случае, когда все координаты направляющего вектора отличны от нуля. Если известны две точки и , через которые проходит прямая, то в качестве направляющего вектора данной прямой можно взять вектор . В этом случае уравнения (3.52) превращается в уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

(3.53)
Угол между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями

равен углу между их направляющими векторами и .

Для нахождения угла между двумя прямыми воспользуемся формулой (2.5)

(3.54)
Угол a между прямой и плоскостью можно найти как угол, дополнительный к углу b, образованному нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой (рис. 3.16).